¡Hola! ¡Resolvamos el problema!
Básicamente, demostraré que tal f no existe
Supongamos que tal f: Z-> Z existe!
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Pongamos f (x) en lugar de x en la ecuación dada.
Entonces, f (f (f (x))) = f (x) +2017
Dado que f (f (x)) = x + 2017, lo anterior es equivalente a f (x + 2017) = f (x) + 2017.
Implica, f (x + 2017k) = f (x) + 2017k para cualquier entero x y k. (Propiedad 1)
Entonces, si se determina f (0), f (1), …, f (2016), f (x) se resuelve explícitamente para cualquier x. Sin embargo, demostraré que tal f no existe.
Por propiedad 1, si xey tiene el mismo resto modular 2017, entonces también lo tiene f (x) yf (y). Además, {f (x + 2017k) | k en Z} será igual a {f (x) + 2017k | k en Z} y todos los elementos en el conjunto son distintos por la propiedad 1 nuevamente.
Luego, por otro lado, f (f (x)) = x + 2017 implica que f (f (x)) tiene el mismo resto con x módulo 2017. Entonces podemos considerar un par de (x, y) tal que 0 <= x, y <= 2016 de modo que y = f (x) (mod 2017) yf (y) = x (mod 2017) a través de la observación durante un minuto. Debido a que 2017 es un número impar, existe 0 <= x <= 2016 tal que f (x) = x (mod 2017) (solo, sin amigo). Por lo tanto, si f (x) = x + 2017k para algún entero k, entonces, x + 2017 = f (f (x)) = f (x + 2017k) (Por propiedad 1) = x + 2017k + 2017k = x + 2017 * 2k. Entonces, k debería ser 1/2, pero k debería ser un número entero. ¡Contradicción!
¡Así, tal f no existe! ¡Que tengas un buen día!
