¿Qué es un isomorfismo?

El isomorfismo en álgebra lineal se define como una transformación lineal invertible entre espacios lineales.

¿Entre?

¡Si! Así es.

La transformación lineal puede ocurrir entre dos espacios lineales. La transformación lineal también puede ocurrir cuando se trata de más de dos espacios lineales.

Echemos un vistazo al siguiente diagrama dado en ÁLGEBRA LINEAL con Aplicaciones (5ta e) por OTTO BRETSCHER.

Tiene tres espacios lineales, a saber, V , W y [math] \ mathbb {R} ^ n. [/ Math]

La transformación de coordenadas [math] L_ {1} [/ math] con respecto a la base es de V a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] [1]

La transformación de coordenadas [math] L_ {2} [/ math] con respecto a la base es de W a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] [2]

Deje que [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] sea el vector de coordenadas, y nuevamente, con respecto a la base.

Como W y [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] son ​​isomórficos, la transformación inversa [math] L_ {2} ^ {- 1} [/ math] existe entre ellos.

Como [matemáticas] L_ {1} = x, [/ matemáticas]

[matemática] L_ {2} ^ {- 1} [/ matemática] o [matemática] L_ {1} [/ matemática] representada por la flecha azul arriba nos da una transformación lineal entre los subespacios V y W, los cuales ahora están espacios lineales isomórficos a través de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] si lo desea.

[1, 2] Todas las transformaciones de coordenadas con respecto a la base son isomorfas.

Agregando un poco de color a las dos respuestas, “isomorfismo” es un concepto general que tiene “implementaciones” específicas en diferentes contextos.

Considere algo muy simple: conjuntos finitos. Dos conjuntos finitos son isomorfos si tienen el mismo número de elementos. Dicho de otra manera con un poco más de detalle, dos conjuntos (ahora no necesariamente finitos) son isomórficos si puede escribir una función que asigne cada elemento de un conjunto a un elemento único del otro conjunto, de modo que no haya elementos de cualquiera de los conjuntos son “perdidos” por la función.

Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} es isomorfo al conjunto {a, b, c}. Puede definir una función f tal que f (1) = a, f (2) = b, yf (3) = c. Por lo tanto, f es un isomorfismo. O puede definir otro isomorfismo g por g ( a) = 2, g (b) = 1 y g (c) = 3. Hay otros isomorfismos.

Ahora veamos algunos otros ejemplos de conjuntos con “estructura”. Tome los enteros, por ejemplo. Puede que no lo sepas, pero como conjuntos, los enteros son isomorfos a los números racionales. Es decir, los racionales son “contables”. (Si no lo sabías, solo tómalo con fe por ahora).

Pero tanto los enteros como los racionales tienen una “estructura” adicional. Por ejemplo, cada conjunto tiene una noción de suma y multiplicación. El término técnico para los conjuntos con esta estructura es que cada uno es un “anillo”, pero si no ha escuchado ese término, no se preocupe.

El punto es que si estamos en el contexto de mirar las cosas con suma y multiplicación, entonces los enteros no son isomorfos a los racionales. ¿Cómo lo sabes? Bueno, en los racionales, cada número distinto de cero tiene un inverso. Es decir, para cada x racional distinto de cero puede encontrar un y racional tal que xy = 1. Pero en los enteros, no hay un número x tal que haya un entero y tal que xy = 1, además de las soluciones triviales x = 1 yx = -1. En otras palabras, cualquier posible isomorfismo entre los enteros y los racionales no respeta las propiedades multiplicativas de cada conjunto y, por lo tanto, no puede ser un isomorfismo en un contexto en el que las propiedades multiplicativas son relevantes.

Hay millones de otras “estructuras” en matemáticas. Por ejemplo, olvídate de la aritmética con los enteros y los racionales por un momento. También puede pensar en ellos simples como conjuntos ordenados. Es decir, existe este concepto “menor o igual que” definido en cada conjunto. ¿Son los racionales y enteros isomorfos como conjuntos ordenados o no? Resulta que no. Por ejemplo, en los racionales siempre hay un número z entre dos números x e y . Por otro lado, nunca hay un número entre enteros consecutivos. (O puede darle la vuelta: no existen los números racionales “consecutivos”).

En resumen, el isomorfismo es prácticamente lo mismo que la equivalencia. Pero es una palabra conveniente porque refleja que estás hablando de equivalencia en un determinado contexto. Es especialmente conveniente cuando tiene más de un contexto flotando. Por lo tanto, puede decir cosas como “X es isomorfo a Y en la categoría de tal y tal, pero no lo son en la categoría de tal y tal”.

La forma en que me gusta pensar sobre el isomorfismo es casi que significa ” igual ” o equivalencia, pero con una sola captura. Los objetos (matemáticos) se consideran “iguales” en un contexto específico .

Digamos que tienes dos objetos matemáticos A y B. Tienen un montón de propiedades, estructuras y reglas. Pero diga que si solo considera algunas de sus propiedades y mira los dos objetos solo a través de las lentes de las propiedades de este subconjunto que seleccionó, en realidad no puede distinguir entre los dos objetos matemáticos. Por lo tanto, para todos los intensos y propósitos, se ven iguales, por lo que usted sabe bajo estas “lentes”.

Dentro de la teoría de grupos, un isomorfismo se define como un mapeo de homomorfismo biyectivo entre dos grupos. Un homomorfismo es un mapeo entre grupos que preserva la estructura, lo que significa que los elementos en estos grupos y las operaciones binarias definidas en estos grupos se aplican a ambos grupos. Podemos definir un homomorfismo matemáticamente como:

[matemáticas] \ phi: \ G \ \ rightarrow \ F [/ matemáticas]

Y debemos ver que un homomorfismo solo existe si:

[matemáticas] f (x \ text {,} \ y) \ \ rightarrow \ f (x) (y) \ \ Rightarrow \ x \ text {,} \ y \ \ in \ G [/ math]

Donde la asignación de funciones entre estos grupos es alguna función que permite que la segunda declaración sea verdadera, lo que significa que la operación del grupo se conserva entre los grupos. También debemos tener en cuenta que un isomorfismo es un homomrfismo biyectivo, lo que significa que cada elemento en el grupo [matemáticas] G [/ matemáticas] puede asignarse a cada elemento en [matemáticas] F [/ matemáticas], a través de la función entre estos grupos. Es importante tener en cuenta que dentro de los isomorfismos, las identidades se asignan a identidades, y las inversas se asignan a inversas.

Un isomorfismo es cuando los grupos de objetos son idénticos en el sentido de que cada objeto en el grupo A se asigna exactamente a un objeto en el grupo B.

¿Ves cómo cada letra en la primera línea del “Isomorfismo” se asigna a una letra invertida en la segunda línea?

Los morfismos (flechas entre objetos) también son inyectivos porque no hay dos objetos de A en el mismo objeto en B.

Este morfismo también es sobreyectivo, ya que cada objeto en el codominio B tiene al menos un mapeo del dominio A.

Además, dado que tenemos una correspondencia uno a uno entre cada objeto en A y B. Podemos ver que tenemos tanto inyección como inyección; Esto también se llama biyección.

Todos los morfismos se resumen en una tabla en el capítulo 11:

Puede encontrar una discusión, explicación y más ejemplos mucho más exhaustivos en mi libro.

¡Salud!

Lex

En la teoría de conjuntos, dos conjuntos son teóricamente equivalentes si existe un mapeo biyectivo (uno a uno) entre ellos.

Dado que los grupos, anillos, campos, etc., son básicamente conjuntos con una estructura algebraica adicional, definimos dos estructuras algebraicas para que sean equivalentes si existe un mapa de preservación de la estructura biyectiva entre ellos, también conocido como isomorfismo.

Dado que uno de los temas de la pregunta es ‘Teoría de gráficos’, voy a responder esta pregunta con respecto al isomorfismo de gráficos.

En la teoría de gráficos, dos gráficos G y H son isomorfos si son esencialmente el mismo gráfico, hasta el etiquetado de vértices.

Por ejemplo, el gráfico en cuatro vértices 1,2,3,4 que tiene los bordes {1,2}, {2,3}, {3,4} y {1,4} es isomorfo al gráfico en cuatro vértices 1 , 2,3,4 que tienen los bordes {1,3}, {2,3}, {2,4}, {1,4}.

Curiosamente, no se sabe si un algoritmo para verificar si dos gráficos son isomorfos está en P o si está completo en NP. Esto se llama el “problema del isomorfismo gráfico”, cuya complejidad algorítmica, como ya se dijo, no se conoce.

La palabra isomorfismo se aplica cuando dos estructuras complejas se pueden mapear entre sí, de tal manera que en cada parte de una estructura haya una parte correspondiente en la otra estructura.

Correspondiente significa que las dos partes juegan roles similares en sus respectivas estructuras. Ver mi post

La prueba de Turing de Eric D’Aleo sobre Space Strategy 101

Un isomorfismo es una relación de equivalencia de un grupo a otro. A menudo se expresa como un mapeo de un grupo a otro, en el que su inverso también sería un isomorfismo, preservando la propiedad simétrica de esta relación de equivalencia. Dado que este mapeo es biyectivo, podemos componer dos isomorfismos [matemáticos] f: G \ rightarrow H, g: H \ rightarrow J [/ math] para que f esté compuesto por g, y logremos un isomorfismo inducido de G a J, y gracias a la propiedad simétrica que mencionamos anteriormente, sabemos que hay un isomorfismo inducido de J a G. Creemos un mapeo de G a sí mismo, de modo que cada elemento se asigne a sí mismo. Conocemos este mapeo para preservar la operación del grupo y que es biyectivo, por lo que preservamos la propiedad de reflexividad de una relación de equivalencia.

La naturaleza exacta de los isomorfismos en sí no es interesante, pero la forma en que los grupos se transforman y se relacionan entre sí es una observación muy linda de la teoría de categorías.

Un homomorfismo es un mapa de una estructura algebraica a otra estructura algebraica que pertenece a la misma categoría. Que conserva la estructura

Por ejemplo, un homomorfismo grupal es un mapa

[matemática] f: G \ a H [/ matemática] con [matemática] G, H [/ matemática] siendo grupos.

si ahora [matemáticas] (G, \ circ), (H, \ cdot) [/ matemáticas]

entonces para [matemáticas] g_1, g_2 \ en G [/ matemáticas]

[matemáticas] f (g_1 \ circ g_2) = f (g_1) \ cdot f (g_2) [/ matemáticas]

De eso se deduce que [math] im (f) [/ math] es un subgrupo de [math] H [/ math]

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

Existen múltiples arreglos previos para el morfismo

[matemática] mono [/ matemática] inyectividad

[matemática] epi [/ matemática] surjectivity

[matemática] iso [/ matemática] bijectividad

[math] endo [/ math] se asigna a sí mismo

[math] auto [/ math] bijective [math] endo [/ math]

Un isomorfismo básicamente significa “lo mismo”.

Por ejemplo, en la teoría de grupos, Φ es un isomorfismo si es un mapa biyectivo que satisface Φ (ab) = Φ (a) Φ (b) por cada a, b. Esto esencialmente significa que los dos grupos son iguales hasta el cambio de nombre.

Otro ejemplo es en la teoría de grafos, se dice que dos gráficos son isomórficos si ambos tienen el mismo número de vértices que se conectan de la misma manera.