Gracias por A2A, Brando. Permítanme interpretar a “todos” como un matemático que no se especializa en el análisis funcional.
Los fundamentos del análisis funcional son bastante delgados. De hecho, muchas personas, especialmente los físicos, están mucho más preocupados por sus aplicaciones.
En términos generales, el análisis funcional se trata de espacios vectoriales infinitos, reales y complejos, dotados de alguna topología. Una fuente natural de tales espacios son varios espacios de funciones regulares en algunos sentidos (por ejemplo, espacios de funciones continuas o suaves definidas en ciertos subconjuntos de [math] \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [ / matemáticas], espacios de soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales, etc.) de donde es más probable el nombre.
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Un análogo extremadamente útil en física de dimensiones infinitas del espacio euclidiano es el espacio de Hilbert.
Por supuesto, los mapas lineales entre ellos y los funcionales lineales son de particular interés.
La topología (que mide qué tan cerca están los puntos del espacio entre sí) generalmente viene dada por una métrica, una norma, un sistema de normas (ver espacio Fréchet), o simplemente por un sistema de vecindarios abiertos de [matemáticas] 0 [ / math] en caso de espacios topológicos lineales.
Hay algunos resultados fundamentales del análisis funcional que, en general, son independientes de la topología, como el teorema de Hahn-Banach sobre extensiones de funcionales lineales desde subespacios lineales a espacios vectoriales más grandes (o algunos hechos generales sobre operadores lineales en casos de dimensiones infinitas).
Algunos otros resultados fundamentales requieren una topología más agradable, por ejemplo, los espacios deben estar completos con respecto a la métrica o la norma.
Uno de los resultados más básicos es el teorema de la categoría de Baire. Implica, en particular, que los espacios de Banach infinitamente dimensionales (es decir, espacios vectoriales completos y normados) deben ser suficientemente grandes. No tienen una base contable de Hamel (es decir, una base como espacio vectorial).
Otro resultado importante sobre los operadores lineales acotados es el teorema de mapeo abierto (análisis funcional) y su teorema del gráfico cerrado corolario.
Y probablemente el último resultado fundamental que debería mencionarse es el teorema de Banach-Steinhaus.
También se deben aprender algunos ejemplos de espacios de Banach y Hilbert, cómo llegar a ellos completando otros espacios normados y sobre los operadores en ellos.
Por supuesto, lo básico probablemente debería incluir algunos datos sobre operadores acotados (por ejemplo, operadores compactos, operadores de clase de rastreo, operadores de Fredholm) y su teoría espectral. Muchos espacios de interés de FA están equipados con una estructura de álgebra, por lo que una introducción a las álgebras de Banach y, en particular, a las álgebras C * también puede ser conveniente.
