El mejor truco que me dejó boquiabierto fue el truco de Feynman de diferenciar bajo el signo integral. Demostraré su efectividad con un ejemplo particularmente estándar.
Buscar: [matemáticas] {\ int_ {0} ^ {\ infty} {x ^ 2e ^ {- x} dx}} [/ matemáticas]
La forma estándar de calcular esta integral definida sería utilizar la integración por partes. Pero en este problema, uno necesitaría hacer la integración por partes dos veces y agregar a eso el hecho de que hay un montón de signos negativos que uno debe seguir antes de finalmente aplicar los límites. Hay un signo negativo en el término exponencial y luego están aquellos que se transfieren de la técnica de integración por partes. Se vuelve un poco complejo.
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Pero el problema se vuelve extremadamente simple si empleamos el ingenioso truco de Feynman. El truco se usa de la siguiente manera:
Introduzca una variable [math] {\ alpha} [/ math] en el término exponencial para que sea [math] {e ^ {- \ alpha x}} [/ math]. En el problema anterior, [math] {\ alpha} [/ math] es solo 1. Luego lo reemplazaremos por 1.
El problema ahora se convierte en: [matemáticas] {\ int_ {0} ^ {\ infty} {x ^ 2e ^ {- \ alpha x} dx}} [/ matemáticas].
Ahora,
Deje I = [matemáticas] {\ int_ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- \ alpha x} dx}} [/ matemáticas].
Si diferenciamos I con respecto a [math] {\ alpha} [/ math], podemos llevar a cabo la diferenciación bajo ese signo integral ya que la integral es para la variable x y [math] {\ alpha} [/ math] es Una variable independiente.
Por lo tanto,
[matemática] {I ‘= d / {d {\ alpha}} \ int {e ^ {- \ alpha x} dx} = \ int {-xe ^ {- \ alpha x} dx}} [/ math].
Al diferenciarlo una vez más con respecto a [math] {\ alpha} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] {I ” = \ int {x ^ 2e ^ {- \ alpha x} dx}} [/ matemáticas].
Así que ahora sabemos que nuestra respuesta es solo la doble derivada de I con respecto a [math] {\ alpha} [/ math].
Que soy yo
Es la integral más fácil de resolver.
[matemáticas] {I = 1 / {\ alpha}} [/ matemáticas]
[matemáticas] {I ‘= -1 / {{\ alpha} ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] {I ” = 2 / {{\ alpha} ^ 3}} [/ matemáticas]
Finalmente sustituya [math] {\ alpha = 1} [/ math] y listo, obtendrá directamente la respuesta como 2 . Esta técnica se puede aplicar fácilmente a integrales de mayor potencia e integrales más variadas. La diferenciación siempre es más fácil que la integración y ahí es donde radica la belleza de esta técnica. Algunas integrales que parecen imposibles de resolver analíticamente son pan comido cuando se resuelven usando esta técnica.
