Depende de cuán “completamente” quieras entenderlo. Teóricamente, podrías entenderlo solo con un trasfondo en álgebra básica, siempre que aprendas qué son los números complejos.
Pero si desea comprender cómo está probado , es probable que necesite algún cálculo, como la serie Taylor, que generalmente se enseña en Calculus II. Pero los únicos requisitos previos para aprenderlos en la medida en que necesite comprender la identidad de Euler son los derivados (incluidas las derivadas superiores) y las sumas infinitas. Pero si acepta ciertas cosas al pie de la letra (como el hecho de que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] tiene una cierta expansión de la serie de potencias, o una suma infinita de potencias de x que son iguales y convergen a [matemáticas] e ^ x [/ math]) sin saber cómo se derivan tales hechos, aún puede entenderlo.
Aquí hay una idea básica de la intuición detrás de la identidad de Euler, que supone que sabes qué son los números complejos:
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La identidad [matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas] es realmente solo un caso especial de la fórmula de Euler, que establece que
[matemáticas] e ^ {ix} = i \ sin (x) + \ cos (x) [/ matemáticas]
La idea básica es que e para alguna potencia imaginaria es equivalente a la rotación en el plano complejo, que es el plano que forma los números complejos, números de la forma [matemática] a + bi [/ matemática] donde a (la parte real ) se representa en el eje horizontal yb (la parte imaginaria) se representa en el eje vertical. Dado que involucra rotación, involucra círculos, y por lo tanto están involucrados seno y coseno. Piense en el círculo unitario y las definiciones de seno y coseno del círculo unitario:
Eso debería dar una intuición razonable para la relación entre números complejos y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], pero la intuición de por qué e elevado a un poder imaginario es la rotación en el plano complejo es más difícil de entender. Para ser honesto, tampoco lo entiendo completamente. Pero por ahora, creo que sería bueno tomarlo al pie de la letra.
