¿Cuáles son algunos ejemplos de grupos de cocientes?

Primero, un poco sobre grupos libres

Comience con un montón de símbolos, como [matemática] a, b, c. [/ Matemática] Generan un grupo llamado grupo libre generado por esos símbolos. Se denota [math] (a, b, c). [/ Math] Sus elementos son cadenas finitas de los símbolos esos símbolos junto con nuevos símbolos [math] a ^ {- 1}, b ^ {- 1}, c ^ {-1} [/ math] sujeto a la regla de simplificación de que si un símbolo y un símbolo inverso aparecen uno al lado del otro, puede cancelarlos. Por ejemplo, [math] ab ^ {- 1} cc ^ {- 1} bc [/ math] puede simplificarse a [math] ab ^ {- 1} bc [/ math] que puede simplificarse a [math] ac . [/ math] Denota la cadena vacía por [math] 1 [/ math] solo para que puedas verla.

La multiplicación en este grupo libre es concatenación. Entonces, por ejemplo [math] aab [/ math] veces [math] b ^ {- 1} c [/ math] es igual a [math] aabb ^ {- 1} c [/ math] que se simplifica a [math] aac. [/ math] Eso último también se puede denotar [math] a ^ 2c. [/ math] Tenga en cuenta que dado que [math] 1 [/ math] es la cadena vacía, [math] 1 [/ math] veces cualquier cosa es esa cosa.

Presentaciones grupales

La idea de un grupo libre es que es el grupo que tiene los símbolos que lo generan, pero no hay relaciones entre esos generadores. Si desea algunas relaciones, puede agregarlas y obtener un grupo con las relaciones requeridas. La construcción utiliza grupos de cocientes.

Por ejemplo, si desea que las dos relaciones [matemática] abc = b [/ matemática] y [matemática] c ^ 4 = 1 [/ matemática] se mantengan en el grupo, hay una manera de hacerlo. Primero reescriba cada ecuación de modo que el lado derecho sea igual a 1. La primera ecuación puede reescribirse como [math] abcb ^ {- 1} = 1. [/ Math] Ahora tome el subgrupo normal más pequeño del grupo libre [math] (a, b, c) [/ math] que contiene esos lados izquierdos, [math] abcb ^ {- 1} [/ math] y [math] c ^ 4. [/ math] Llámalo [math] (abcb ^ {- 1 }, c ^ 4). [/ math] El grupo del cociente, [math] (a, b, c) / (abcb ^ {- 1}, c ^ 4), [/ math] se denota [math] (a , b, c: abcb ^ {- 1}, c ^ 4) [/ math] o [math] (a, b, c: abc = b, c ^ 4 = 1). [/ math] Es el grupo generado por [matemática] a, b, c [/ matemática] sujeta a las relaciones [matemática] abc = b [/ matemática] y [matemática] c ^ 4 = 1. [/ matemática]

Si uno está interesado en grupos finitos, un buen ejemplo es [matemáticas] S_4 / \ {(), (12) (34), (13) (24), (14) (23) \} \ cong S_3. [/ matemáticas]

En palabras: el grupo del cociente de [matemática] S_4 [/ matemática] por su subgrupo normal de Klein-four es isomorfo al grupo simétrico en tres elementos [matemática] S_3 [/ matemática].

[math] \ mathbb {R} \ mathbin {/} \ mathbb {Q} [/ math], [math] \ mathbb {R} \ mathbin {/} \ mathbb {Z} [/ math] y [math] \ mathbb {Q} \ mathbin {/} \ mathbb {Z} [/ math].