Suponga que f ∈ Q [ x ], f ≠ 0 tiene una raíz múltiple (compleja o real). Entonces la derivada f ʹ tiene la misma raíz (con menor multiplicidad), y GCD ( f , f ʹ) es un polinomio no constante, divisor de f , de grado como máximo el grado de f ʹ (por lo tanto, más pequeño que el grado de f ) Por lo tanto, f tiene un factor no trivial, por lo tanto, f es reducible.
La generalización es el teorema: si K es un campo perfecto, entonces un polinomio irreducible en K [ x ] no tiene múltiples raíces.
Un campo es perfecto si la derivada de cualquier polinomio irreducible nunca es 0; o equivalentemente, un campo no es perfecto si tiene características p > 0 y el mapa π: K → K , π ( a ) = a ^ p no es sobreyectivo, es decir, existe un elemento que no tiene raíz p -ésima.
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De hecho, considere el polinomio f = x ^ p – a ; es irreducible en K [ x ] pero tiene una raíz (de multiplicidad p ) en el cierre algebraico. Y de hecho f ʹ = 0
