¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {20} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6) ^ 5 [/ matemáticas]?

Incorrecto. [matemáticas] (1 + x +… + x ^ 4) \ neq \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]. Busque la cantidad de formas de dividir 10 en 5 partes, la mayor parte [matemática] <5 [/ matemática].

REVELACIÓN

Usamos la notación común donde [matemáticas] [x ^ k] h [/ matemáticas] denota el coeficiente de [matemáticas] x ^ k [/ matemáticas] en la serie de potencia [matemáticas] h [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x +… + x ^ 4) = \ frac {1} {1-x} – \ frac {x ^ 5} {1-x} [/ matemáticas]. Estamos buscando [matemáticas] [x ^ {10}] (\ frac {1 – x ^ 5} {1-x}) ^ 5 [/ matemáticas]. Sea [math] f: = (\ frac {1} {1-x}) ^ 5 [/ math]. Como [math] (1-x ^ 5) ^ 5 = 1 – 5x ^ 5 + {5 \ elegir 2} x ^ {10} + O (x ^ {15}) [/ math] nuestro término deseado es [math ] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f = 1 \ cdot [x ^ {10}] f – 5 \ cdot [x ^ 5] f + {5 \ elegir 2} \ cdot [x ^ 0] f [/ matemáticas].

Por el argumento de bolas y bandejas [matemáticas] [x ^ k] (\ frac {1} {1-x}) ^ n = {k + (n – 1) \ choose (n – 1)} [/ math]. La evaluación de la expresión de [matemáticas] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f [/ matemáticas] con la fórmula nos lleva

[matemáticas] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f = [/ matemáticas] [matemáticas] {14 \ elegir 4} – 5 \ cdot {9 \ elegir 4} + {5 \ elija 2} \ cdot {4 \ elija 4} = 381 [/ math].

No, ha cometido un error en su segundo paso [matemáticas] x ^ {10} (1 + x + \ cdots + x ^ 4) ^ 5 = x ^ {10} \ cdot \ left (\ frac {1} { 1-x} \ right) ^ 5 [/ math]. La forma correcta sería [matemáticas] x ^ {10} (1 + x + \ cdots + x ^ 4) ^ 5 = x ^ {10} \ cdot \ left (\ frac {1-x ^ 5} {1-x } \ right) ^ 5 = x ^ {10} {(1-x ^ 5)} ^ 5 (1-x) ^ {- 5} = x ^ {10} (1-x ^ 5) ^ 5 \ sum ^ {\ infty} _ {i = 0} {- 5 \ elegir i} (- x) ^ i [/ math]. Esto le da la respuesta [matemáticas] {- 5 \ elegir 10} -5 {-5 \ elegir 5} + 10 = {15 \ elegir 10} +5 {10 \ elegir 5} +10 [/ matemáticas]