Incorrecto. [matemáticas] (1 + x +… + x ^ 4) \ neq \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]. Busque la cantidad de formas de dividir 10 en 5 partes, la mayor parte [matemática] <5 [/ matemática].
REVELACIÓN
Usamos la notación común donde [matemáticas] [x ^ k] h [/ matemáticas] denota el coeficiente de [matemáticas] x ^ k [/ matemáticas] en la serie de potencia [matemáticas] h [/ matemáticas]
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[matemáticas] (1 + x +… + x ^ 4) = \ frac {1} {1-x} – \ frac {x ^ 5} {1-x} [/ matemáticas]. Estamos buscando [matemáticas] [x ^ {10}] (\ frac {1 – x ^ 5} {1-x}) ^ 5 [/ matemáticas]. Sea [math] f: = (\ frac {1} {1-x}) ^ 5 [/ math]. Como [math] (1-x ^ 5) ^ 5 = 1 – 5x ^ 5 + {5 \ elegir 2} x ^ {10} + O (x ^ {15}) [/ math] nuestro término deseado es [math ] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f = 1 \ cdot [x ^ {10}] f – 5 \ cdot [x ^ 5] f + {5 \ elegir 2} \ cdot [x ^ 0] f [/ matemáticas].
Por el argumento de bolas y bandejas [matemáticas] [x ^ k] (\ frac {1} {1-x}) ^ n = {k + (n – 1) \ choose (n – 1)} [/ math]. La evaluación de la expresión de [matemáticas] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f [/ matemáticas] con la fórmula nos lleva
[matemáticas] [x ^ {10}] (1-x ^ 5) ^ 5 \ cdot f = [/ matemáticas] [matemáticas] {14 \ elegir 4} – 5 \ cdot {9 \ elegir 4} + {5 \ elija 2} \ cdot {4 \ elija 4} = 381 [/ math].