¿Qué es una línea paralela?

En geometría axiomática, dos líneas se llaman paralelas, si no tienen un punto de intersección.

En la geometría euclidiana clásica, esto significa exactamente lo que tienes en mente cuando piensas en paralelos: dos líneas con la misma dirección, pero con alguna distancia entre ellas.

El famoso axioma de Euclides dice: para cada línea, y para cada punto que no está en esta línea, hay exactamente una línea que pasa por ese punto y es paralela (es decir, no se encuentra) a la otra línea.

El descubrimiento de la geometría hiperbólica por Boyai, Lobachevsky y Gauss demostró que este es un axioma real y no puede deducirse de los otros axiomas de la geometría euclidiana. En geometría hiperbólica, tienes infinitos paralelos a una línea dada y cualquier punto que no esté en la línea. En la geometría esférica no tiene ninguno, ya que dos líneas tienen un punto de intersección.

Al momento de escribir, la pregunta se formula como “¿Qué es una línea paralela?”

Como se dijo, la respuesta es mu. El paralelismo implica (requiere) una relación entre dos objetos (en este caso, líneas). Uno podría preguntar: “¿Qué es un pantalón?” De hecho, es menos misterioso por qué las líneas paralelas siempre vienen en pares.

La relación es que dadas dos líneas distintas [matemáticas] l_1, l_2 [/ matemáticas] en el plano euclidiano, la intersección de las líneas está vacía. Esto solo es posible en el plano euclidiano si las dos líneas tienen la misma “pendiente”.

La pendiente es un concepto que se expresa más fácilmente en coordenadas cartesianas. Si los puntos [matemática] (x_ {1,0}, y_ {1,0}) [/ matemática], [matemática] (x_ {1,1}, y_ {1,1}) [/ matemática] son ​​elementos distintos de [matemáticas] l_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_ {2,0}, y_ {2,0}) [/ matemáticas], [matemáticas] (x_ {2,1}, y_ {2,1} ) [/ math] son ​​elementos distintos de [math] l_2 [/ math], luego [math] l_1 [/ math] y [math] l_2 [/ math] son ​​paralelos si y solo si

[matemáticas] \ frac {y_ {1,1} -y_ {1,0}} {x_ {1,1} -x_ {1,0}} = \ frac {y_ {2,1} -y_ {2, 0}} {x_ {2,1} -x_ {2,0}} [/ matemáticas].

Por comentario de Motti Shimoni, notará que si una de las líneas tiene el mismo valor [matemático] x [/ matemático] para cada valor [matemático] y [/ matemático] la pendiente no está definida (porque de lo contrario hay una división por cero). Dichas líneas se describen mediante la ecuación [matemática] x = c [/ matemática], para algún número constante [matemática] c [/ matemática]. Si dos líneas tienen la misma forma pero constantes diferentes, entonces es fácil decir que son paralelas.

Esto se extiende a otras líneas en el plano, porque todas tienen la misma forma [matemática] y = mx + b [/ matemática], donde el número [matemática] m [/ matemática] es la pendiente (o gradiente) como se definió anteriormente . Por lo tanto, si dos líneas tienen la misma [matemática] m [/ matemática] pero diferente [matemática] b [/ matemática] s, son paralelas; de lo contrario, no.

La especificación exacta en general depende de la elección del sistema de coordenadas, pero si se encuentra en el plano euclidiano utilizando coordenadas cartesianas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas], esto es “suficientemente bueno”.

En los espacios euclidianos más altos, las líneas vuelven a ser paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, pero esto requiere verificar que el “aumento de la carrera” en cada par de dimensiones sea el mismo.

Además, si [matemática] l_1 [/ matemática] es paralela a [matemática] l_2 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] es paralela a [matemática] l_3 [/ matemática], y las tres líneas son distintas, entonces [math] l_1 [/ math] es paralelo a [math] l_3 [/ math].

La idea de líneas paralelas puede extenderse también a espacios con diferentes geometrías, si ampliamos la idea de una línea recta a la idea de la geodésica (o el camino más corto entre dos puntos). Dada una geodésica [matemática] l_0 [/ matemática] y un punto [matemática] P [/ matemática], hay espacios donde cada geodésica a través de [matemática] P [/ matemática] se cruza con [matemática] l_0 [/ matemática] (elipsoides) , por ejemplo), y hay espacios donde hay infinitas geodésicas a través de [math] P [/ math] que no se cruzan con [math] l_0 [/ math] (llamados espacios hiperbólicos, precisamente porque hay tantos paralelos ” líneas “en estos espacios). Los espacios euclidianos son especiales porque son los espacios donde hay exactamente una geodésica a través de [math] P [/ math] que no se cruza con [math] l_0 [/ math].

La pregunta debería ser ¿qué son las líneas paralelas? Una línea no puede ser paralela por sí sola, sin otra línea o un objeto fuerte.

Las líneas paralelas son las líneas que nunca se cruzan entre sí. Considere las rutas ferroviarias como un ejemplo. Nunca se interesan entre sí. (Ignorando al formar otra ruta paralela).

Las líneas paralelas son básicamente las líneas que, cuando se extienden hasta el infinito, nunca se encuentran. Su distancia perpendicular es la misma desde todos los puntos. Echa un vistazo a estos.

Estas líneas nunca se encontrarán. Entonces son paralelos.

Algunos otros ejemplos son:

  • Vías del tren.
  • Los carriles en un solo camino.
  • Sprint tracks .

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La pregunta era “¿Qué es una línea paralela?”

Es una línea que es paralela a otra cosa.
Paralelo significa que mantiene una distancia constante.

Por ejemplo, ponga una regla en una página.
Dibuja una línea en un lado, luego una línea en el otro.
Como la regla tiene un ancho constante, estas líneas son paralelas.
(Estos son segmentos de línea, estrictamente, pero eso no viene al caso)

Una línea es paralela a otra si (1) ambos se encuentran en el mismo plano y (2) no tienen ningún punto en común.

Paralelo es una relación entre dos o más líneas. Un par de líneas en una llanura son paralelas, ya que nunca tienen un punto en común, sin importar qué tan extendido esté.

Las líneas donde la distancia perpendicular entre ellas permanece constante en todos y cada uno de los puntos de las líneas, se llaman Líneas Perpendiculares .

Creo que la respuesta más simple a esto es que una línea es paralela a otra si tienen la misma pendiente.

Por ejemplo, si tiene una línea y = 3x + 5 y otra línea y = 3x – 2, esas líneas son paralelas porque su pendiente (3) es la misma.

¡Sencillo!

Si extendemos ambas líneas desde ambos extremos, nunca se encontrarán en toda la vida … son líneas paralelas

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