Al momento de escribir, la pregunta se formula como “¿Qué es una línea paralela?”
Como se dijo, la respuesta es mu. El paralelismo implica (requiere) una relación entre dos objetos (en este caso, líneas). Uno podría preguntar: “¿Qué es un pantalón?” De hecho, es menos misterioso por qué las líneas paralelas siempre vienen en pares.
La relación es que dadas dos líneas distintas [matemáticas] l_1, l_2 [/ matemáticas] en el plano euclidiano, la intersección de las líneas está vacía. Esto solo es posible en el plano euclidiano si las dos líneas tienen la misma “pendiente”.
La pendiente es un concepto que se expresa más fácilmente en coordenadas cartesianas. Si los puntos [matemática] (x_ {1,0}, y_ {1,0}) [/ matemática], [matemática] (x_ {1,1}, y_ {1,1}) [/ matemática] son elementos distintos de [matemáticas] l_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_ {2,0}, y_ {2,0}) [/ matemáticas], [matemáticas] (x_ {2,1}, y_ {2,1} ) [/ math] son elementos distintos de [math] l_2 [/ math], luego [math] l_1 [/ math] y [math] l_2 [/ math] son paralelos si y solo si
[matemáticas] \ frac {y_ {1,1} -y_ {1,0}} {x_ {1,1} -x_ {1,0}} = \ frac {y_ {2,1} -y_ {2, 0}} {x_ {2,1} -x_ {2,0}} [/ matemáticas].
Por comentario de Motti Shimoni, notará que si una de las líneas tiene el mismo valor [matemático] x [/ matemático] para cada valor [matemático] y [/ matemático] la pendiente no está definida (porque de lo contrario hay una división por cero). Dichas líneas se describen mediante la ecuación [matemática] x = c [/ matemática], para algún número constante [matemática] c [/ matemática]. Si dos líneas tienen la misma forma pero constantes diferentes, entonces es fácil decir que son paralelas.
Esto se extiende a otras líneas en el plano, porque todas tienen la misma forma [matemática] y = mx + b [/ matemática], donde el número [matemática] m [/ matemática] es la pendiente (o gradiente) como se definió anteriormente . Por lo tanto, si dos líneas tienen la misma [matemática] m [/ matemática] pero diferente [matemática] b [/ matemática] s, son paralelas; de lo contrario, no.
La especificación exacta en general depende de la elección del sistema de coordenadas, pero si se encuentra en el plano euclidiano utilizando coordenadas cartesianas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas], esto es “suficientemente bueno”.
En los espacios euclidianos más altos, las líneas vuelven a ser paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, pero esto requiere verificar que el “aumento de la carrera” en cada par de dimensiones sea el mismo.
Además, si [matemática] l_1 [/ matemática] es paralela a [matemática] l_2 [/ matemática] y [matemática] l_2 [/ matemática] es paralela a [matemática] l_3 [/ matemática], y las tres líneas son distintas, entonces [math] l_1 [/ math] es paralelo a [math] l_3 [/ math].
La idea de líneas paralelas puede extenderse también a espacios con diferentes geometrías, si ampliamos la idea de una línea recta a la idea de la geodésica (o el camino más corto entre dos puntos). Dada una geodésica [matemática] l_0 [/ matemática] y un punto [matemática] P [/ matemática], hay espacios donde cada geodésica a través de [matemática] P [/ matemática] se cruza con [matemática] l_0 [/ matemática] (elipsoides) , por ejemplo), y hay espacios donde hay infinitas geodésicas a través de [math] P [/ math] que no se cruzan con [math] l_0 [/ math] (llamados espacios hiperbólicos, precisamente porque hay tantos paralelos ” líneas “en estos espacios). Los espacios euclidianos son especiales porque son los espacios donde hay exactamente una geodésica a través de [math] P [/ math] que no se cruza con [math] l_0 [/ math].