Obviamente, si p es constante o lineal, entonces la suma diverge, por lo que p debe ser al menos cuadrática y, como usted dice, no debe tener raíces en enteros positivos.
Obviamente no habrá una fórmula terriblemente agradable, ya que, por ejemplo, incluso en el caso más simple posible, tenemos
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
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Sin embargo, al hacer los trucos estándar con series de potencias formales, podemos expresar cualquier suma en términos de la función digamma (que es un nombre elegante para la derivada logarítmica de la función gamma), al menos si permite tomar raíces de polinomios arbitrarios . Esto se describe con cierto detalle en la página de Wikipedia:
- Definición de la función Digamma: http://en.wikipedia.org/wiki/Dig…
- Descripción de la técnica para sumar secuencias infinitas: http://en.wikipedia.org/wiki/Dig… (o simplemente desplácese hacia abajo hasta la sección “Fórmula de la serie”).
