¿Cuáles son los problemas más hermosos de la Olimpiada matemática?

Gracias por el A2A!

En realidad, ¡la mayoría de los problemas de la Olimpiada son increíbles! Elegir uno (o algunos) parece muy difícil.

Sin embargo, este viene a la mente al instante:

Demuestre que existen infinitos enteros positivos n tal que n! (es decir, n factorial) es divisible por (n ^ 2 + 1).

Por cierto, ya hay una pregunta similar sobre Quora: ¿Cuáles son los problemas más hermosos de la Olimpiada de Matemáticas? La respuesta anterior ha sido publicada por mí allí también.

“La leyenda de la pregunta 6”

Fue la sexta pregunta de la olimpiada matemática de 1988 en la que los oficiales de la olimpiada australiana decidieron lanzar una bola curva masiva a los niños en el último día de la competencia. Se cree que es uno de los problemas más difíciles durante ese tiempo porque había un truco especial para resolverlo. Incluso los funcionarios tardaron casi 6 horas en resolver esa pregunta. A continuación se muestra la pregunta exacta.

Resolver estas preguntas requería que los participantes conocieran una técnica especial en la teoría de números conocida como ” Vieta Jumping ” o “cambio de raíz”.

Para darle una idea de lo difícil que es este problema, el matemático y prodigio australiano-estadounidense Terrence Tao, que ganó la medalla de campo 2006 (el equivalente al premio matemático nobel) fue el medallista de oro en esta olimpiada y obtuvo solo 1 de 7 en esta Problema particular. (Pero tenía solo 13 años esa vez y el más joven que recibió la medalla de oro de la Olimpiada) A continuación se muestra la tarjeta de puntuación de los participantes.

Terry Tao se convirtió en el medallista de oro olímpico más joven. Pero todo lo que pensaba era en ese problema.

El problema no es tan difícil en estos días para resolverlo. ¡Darle una oportunidad! Y estaría encantado si pudiera resolver uno de los problemas más difíciles que se plantean en Math Olympiad.

Este hermoso problema de INMO 1993:

Aunque este problema se puede resolver usando matemática vectorial, la siguiente solución usando matemática pre secundaria es, en mi opinión, una de las soluciones más elegantes que he encontrado:

1. Dibuja un triángulo equilátero con longitud lateral 9.
2. Cortar triángulos equiláteros en cada esquina de la longitud lateral 1, 2 y 3.
3. El hexágono resultante satisface las propiedades.

Las matemáticas son hermosas de hecho.

IMO 2011 Problema 2. Uno de los mayores problemas combinatorios que he visto.

Deje que [math] S [/ math] sea un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Suponga que no hay tres puntos de [matemáticas] S [/ matemáticas] son ​​colineales. Un molino de viento es un proceso que comienza con una línea [matemática] l [/ matemática] que pasa por un solo punto [matemática] P \ en S [/ matemática]. La línea gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote [matemática] P [/ matemática] hasta la primera vez que la línea se encuentra con otro punto perteneciente a S. Este punto, [matemática] Q [/ matemática], toma el control como el nuevo pivote, y la línea ahora gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de [matemáticas] Q [/ matemáticas] hasta que se encuentre con un punto de [matemáticas] S [/ matemáticas]. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto [matemático] P [/ matemático] en [matemático] S [/ matemático] y una línea [matemática] l [/ matemático] a través de P de modo que el molino resultante utilice cada punto de [matemático] S [/ math] como pivote infinitamente muchas veces.

Me encanta este problema del Putnam 2009:

Sea f una función de valor real en el plano tal que para cada cuadrado ABCD en el plano, [matemática] f (A) + f (B) + f (C) + f (D) = 0 [/ matemática]. ¿Se deduce que [matemáticas] f (P) = 0 [/ matemáticas] para todos los puntos P en el plano?

Una mesa rectangular tiene 100 monedas colocadas (los centros deben estar en la mesa) de modo que ninguna de las monedas se superponga, y es imposible colocar más monedas en la mesa sin causar una superposición.

Demuestre que usando 400 monedas y permitiendo superposiciones, podemos cubrir toda la mesa.

Me encanta este problema debido a su simplicidad y al hecho de que he visto a jóvenes estudiantes encontrar inspiración a través de su solución. Muchos de ustedes probablemente saben lo bien que se siente ver a los estudiantes inspirados.

La siguiente pregunta es de RMO 2004 India:

P.) Los enteros positivos se escriben en todas las caras de un cubo, uno en cada uno. En cada esquina (vértice) del cubo, se escribe el producto de los números en las caras que se encuentran en la esquina. La suma de los números escritos en todas las esquinas es 2004. Si T denota la suma de los números en todas las caras, encuentre todos los valores posibles de T.

Solución :
Deje que los enteros en los seis lados sean a, b, c, d, e, f.
Entonces la suma de números en las esquinas sería: ade + abe + abf + adf + cde + bce + bcf + cdf
Eso se reduce a (e + f) (ab + bc + cd + ad) que nuevamente se reduce a:
(e + f) (a + c) (b + d) = 2004 = 2.2.3.167 (factorizado primo)
Tenga en cuenta que ninguno de los factores e + f, a + c o b + d puede ser 1 (porque son la suma de dos enteros positivos)
Así (e + f) (a + c) (b + d) = 4.3.167 o 2.6.167 o 2.3.334 o 2.2.501.
Por lo tanto, los posibles valores de T = a + b + c + d + e + f son 4 + 3 + 167 o 2 + 6 + 167 o 2 + 3 + 334 o 2 + 2 + 501.
es decir, 174,175,339 o 505

En realidad, hay muchos problemas hermosos de olimpiada matemática, pero desafortunadamente también hay algunos de otro tipo * tos * 2017 USAJMO * tos *. Aquí hay algunos problemas de teoría de números porque la teoría de números es buena.

Problema 6 de la OMI 1988: Sea [matemático] a [/ matemático] y [matemático] b [/ matemático] sean enteros positivos tales que [matemático] ab + 1 [/ matemático] divide [matemático] a ^ 2 + b ^ 2 [ /matemáticas]. Demuestre que [matemáticas] \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {ab + 1} [/ matemáticas] es un cuadrado de un entero

Problema 6 de la OMI 2003: Sea [math] p [/ math] un número primo. Demuestre que existe un número primo [math] q [/ math] tal que para cada número entero [math] n [/ math], el número [math] n ^ p – p [/ math] no es divisible por [math] q [/ matemáticas]

Problema 2 de la OMI 2003: Determine todos los pares de enteros positivos [matemática] (a, b) [/ matemática] de modo que [matemática] \ frac {a ^ 2} {2ab ^ 2-b ^ 3 + 1} [/ matemática] es un entero positivo

Todos estos están redactados de manera bastante simple, pero tienen hermosas soluciones.

EE.UU. TSTST 2012 El problema 9 es el problema de olimpiada matemática más hermoso.
http: //www.artofproblemsolving.c …

Estas son algunas de las preguntas de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (OMI) . No es hermosa pero es una buena pregunta y también son fáciles (clase 10)

• OMI 2014

• OMI 2013

• OMI 2013

• OMI 2014

Espero que te guste. Sígueme en QUORA. ¡Gracias!

Supongamos que l es una línea, y los puntos A y C no son incidentes, pero coplanarán con la línea de modo que A y C estén ambos en el mismo lado de la línea.
Encuentre el punto B en l de manera que AB + BC sea la longitud mínima y demuestre que es así.

Difícil de decir, pero el siguiente problema definitivamente me viene a la mente.

Encuentre todos los números racionales distintos por pares [matemática] x, y, z [/ matemática] tal que [matemática] \ frac {1} {(x – y) ^ 2} + \ frac {1} {(y – z) ^ 2} + \ frac {1} {(z – x) ^ 2} = 2014. [/ math]

Solución en comentarios.

1. Demuestre que existe una [matemática] k [/ matemática], de modo que los primeros cuatro dígitos de [matemática] k! [/ Matemática] son ​​1966.
2. Te dan ocho números reales: a, b, c, d, e, f, gy h. Demuestre que al menos uno de los siguientes seis números no es negativo: ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, por ejemplo, + fh
3. Suponga que en un rectángulo con dimensiones [matemáticas] 3 \ veces4 [/ matemáticas], se colocan 4 puntos. Demuestre que entre ellos puede encontrar dos, cuya distancia no será mayor que [math] \ frac {25} {8} [/ math]

(Basado en el conjunto de problemas 1 de Red MOP 2006)

Encuentre la [matemática] n [/ matemática] más pequeña de modo que la siguiente desigualdad sea falsa: [matemática] \ sigma (n) \ le H_ {n} + \ ln (H_ {n}) e ^ {H_ {n}} , [/matemáticas]

donde [matemática] \ sigma (n) [/ matemática] es la suma de los divisores de [matemática] n [/ matemática] y [matemática] H_ {n} [/ matemática] es la [matemática] 1+ \ frac12 + \ frac13 + \ frac14 +… + \ frac1n [/ math].

El AIME no es exactamente una Olimpiada de Matemáticas, pero es uno de los pasos para el USAMO. Este problema es el # 14 en el AIME I 2014

Sea m la mayor solución a la ecuación.

Encuentra m

OMI 1988, # 6
Deje a y b ser números enteros positivos tales que [math] ab + 1 [/ math] divide [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]. Demuestre que [matemáticas] \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {ab + 1} [/ matemáticas] es el cuadrado de un número entero.
Esta pregunta no requiere más conocimientos de matemáticas que el nivel de secundaria, pero es realmente difícil.

Si hablamos de IMO, estoy a favor de este (no recuerdo el año, pero definitivamente antes de 1973).

Demuestre que el radio de una esfera inscrita en un tetraedro arbitrario es al menos 3 veces menor que el radio de una circunscrita.

Solución.

Construye un tetraedro con nodos en medio de los lados del original. Es el mismo tetraedro, pero 3 veces más pequeño. La esfera a su alrededor también es 3 veces más pequeña, y está cruzando todos los lados del tetraedro original. Eso significa que puede reducirse a la esfera inscrita. (Tal vez, tendrá que moverlo al centro mientras lo reduce)

Vi otra pregunta sobre las mejores soluciones. Ese es definitivamente un candidato, pero conozco varios otros problemas de la misma calidad de solución. Sin embargo, no son de las Olimpiadas, aquí puedo señalar esto.

Sabes que nunca he tomado la Olimpiada de Matemáticas o el Putnam. Mi desarrollo matemático fue gradual y normal para la mayoría de mis jóvenes estudios. Solo me enfoqué en el estudio de las matemáticas más tarde, a mediados de mis 20 años, y solo recientemente he experimentado cursos de doctorado en matemática aplicada y estadística. Es un tema desafiante que siempre ha tenido sentido para mí, como las ciencias naturales. A medida que experimento cursos de investigación dirigidos en ciencias matemáticas, supongo que una buena olimpiada matemática presenta problemas que están más allá del alcance aprendido del estudiante. Los problemas deben ser una trayectoria de investigación y comprensibles para que los estudiantes tomen un procedimiento o inventen un procedimiento y lo resuelvan. Esto se aplicaría a cualquier olimpiada de matemáticas de primaria, secundaria o preparatoria. Es parcialmente sugestivo de la organización del conocimiento matemático y la velocidad de resolución de problemas para colocar problemas moderadamente difíciles entre una prueba estrictamente cronometrada. Eso no me interesa como muestra de habilidad matemática, sino de rendimiento basado en habilidades. Es útil como ejercicio de capacitación durante la escuela o el estudio independiente, pero en una olimpiada matemática, los matemáticos deben diseñarlo para que los estudiantes puedan obtener una vista previa de las matemáticas basadas en la investigación. Además, los ejercicios matemáticos competitivos son suficientes para comparar las habilidades matemáticas de los estudiantes. Distingue entre mayor y menor capacidad del alumno. A medida que los estudiantes continúen su educación matemática, deberán mantener la competencia individual y trabajar juntos. Es una dirección de campo o direcciones de rama unificadas. Como tal, las competencias sugieren que los estudiantes se destacan y mejoran, pero si se toman demasiado en serio, impiden la colaboración.

OMI 2014 # 6, 2012 # 5, 2011 # 2, 2009 # 3, 2006 # 6, 2005 # 1.
Aunque personalmente mi problema favorito no ha aparecido en una Olimpiada.