Dada la palabra ‘GRAPAR’, ¿cuántos arreglos diferentes hay de las letras de manera que A y E estén separadas por al menos una letra?

  1. No total de (6 letras) palabras que se pueden formar usando las letras S, T, A, P, L, E son 6!

Las letras A y E estarán separadas por al menos una letra solo cuando no estén juntas. Por lo tanto,

2. El total de palabras (6 letras) que se pueden formar cuando A y E están juntas son

5! x 2!

Como en este caso, A y E estarán juntos, lo que puede considerarse como un paquete con dos combinaciones posibles AE o EA

¡Y entonces tenemos que organizar S, T, P, L y un paquete, es decir, 5 cosas que se pueden organizar en 5! formas.

¡Y un paquete se puede organizar en 2! o 2 formas como se indicó anteriormente

¡Y por lo tanto, el total de palabras (6 letras) que se pueden formar cuando A y E están juntas son 5! x 2!

Restando así 2 de 1,

Obtenemos

No total de palabras que se pueden formar con A y E separadas por al menos 1 letra =

6! – 5! x 2! es decir, 480

[matemáticas] 480 [/ matemáticas]. Hay [matemáticas] 4! = 24 [/ matemáticas] formas de ordenar las letras S, T, P, L. Ahora hay cinco espacios en y alrededor de estas letras donde podríamos insertar A y E. No podemos insertar A y E en la misma brecha porque eso los haría adyacentes, pero siempre que los coloquemos en diferentes brechas, estamos bien. ¡Entonces hay 5 lugares posibles donde podríamos poner la A, seguidos por 4 lugares posibles donde podríamos poner la E. Poniendo todo junto, tenemos [matemáticas] 4! \ veces 5 \ veces 4 = 480 [/ matemáticas].

Alternativamente, para ampliar el enfoque de Mike Anderson: hay un total de [matemáticas] 6! [/ Matemáticas] formas de permutar seis letras diferentes. De esto restamos la cantidad de formas de ordenar las letras con A y E adyacentes. Si A y E fueran adyacentes, podríamos tratarlos como el símbolo único blob AE o EA, en cuyo caso podríamos pretender que estamos permutando los cinco símbolos diferentes AE, S, T, P, L (o EA, S, T , P, L). Hay [matemáticas] 5! [/ Matemáticas] formas de hacer esto, y claramente [matemáticas] 2 [/ matemáticas] formas de ordenar A y E. ¡Se deduce que hay [matemáticas] 6! – 2 \ por 5! = 480 [/ matemáticas] formas de ordenar las letras con A y E separadas.

Calcule el número total de permutaciones de 6 letras diferentes, y luego calcule en cuántas de esas permutaciones, la A y la E están separadas por ninguna letra, y luego reste la última de las primeras.

Este último puede calcularse considerando cuántas formas pueden permutarse las 4 letras restantes, la cantidad de formas en que puede permutarse el par AE y el número de ranuras antes, después o entre 4 letras que puede ocupar el par AE.

¡El número de permutaciones de las letras S, T, A, P, L, E es 6! Veamos el número de permutaciones en las que las letras A y E aparecen juntas. Podemos considerar que AE es una entidad única, en cuyo caso el número de objetos a permutar es 5. ¡Esto produce 2 [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] 5! permutaciones de 6! permutaciones Entonces, el número de permutaciones en las que las letras A y E nunca aparecen juntas es [matemáticas] 6! -2 \ veces 5! = 720–2 \ veces 120 = 480. [/ Matemáticas]

Presumiblemente estamos hablando de arreglos de todas las letras. Si incluimos arreglos de solo algunos, necesitamos usar el siguiente método varias veces más para cada posible selección de menos letras.

Como suele ser el caso con este tipo de problema, es más fácil comenzar con la pregunta opuesta: cuántos arreglos hay en los que A y E no están separados por ninguna letra, y luego deducirlo del número total de arreglos de las letras GRAPAR (que es 6 !, o 6.5.4.3.2, porque hay 6 formas de elegir la primera letra, 5 formas de elegir la segunda, y así sucesivamente). Si ahora piensa en AE como una sola unidad, ¡hay 5! arreglos de STPL AE y 5! arreglos de STPL EA. Entonces la respuesta a la pregunta es 6.5.4.3.2 – 5.4.3.2 – 5.4.3.2 = 2.5.4.3.2 = 240.

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