Bueno, primero tenemos que definir un árbol etiquetado [math] k [/ math]. Un árbol es una estructura con un montón de líneas que conectan un montón de puntos. Comienza en un nodo ‘raíz’ y cada nodo tiene cero o más nodos ‘hijos’, que tienen sus propios ‘hijos’. Ok, ahora que tiene un árbol, etiquete cada nodo con un número de [math] 1 [/ math] a [math] k [/ math].
Ahora tiene un árbol etiquetado [math] k [/ math], más o menos. Llámalo [matemáticas] T_1 [/ matemáticas]. Haga un montón más, ahora tiene [matemáticas] T_1, T_2, T_3, [/ matemáticas] etc. Pero necesitamos esta lista para satisfacer algunas condiciones antes de hablar sobre TREE.
Aquí está la parte difícil. Debe afirmar que cada árbol de su lista no es empotrable homeomórficamente en ninguno de los árboles más abajo de la lista. En pocas palabras, esto significa que cualquier árbol en su lista no será parte de ninguno de los árboles superiores (con algunas otras condiciones). El objetivo es hacer una lista de árboles donde esto sea cierto, y también que el árbol [math] i [/ math] -th en la lista no tenga más que nodos [math] i [/ math]. Esto no es fácil.
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Ahora, ¿cuál es la lista más larga que puedes hacer? Para una lista de árboles etiquetados [math] 1 [/ math], solo puede hacer una lista que tenga un árbol de largo, entonces TREE (1) = 1. Para árboles marcados con [math] 2 [/ math], puede llegar hasta tres árboles, por lo que TREE (2) = 3. Para los árboles etiquetados [math] 3 [/ math], sucede algo extraño. ÁRBOL (3) es muy, muy grande.
Lo interesante es que TREE (3) es finito. Kruskal demostró que TREE (n) siempre es finito, nunca se puede hacer una lista infinitamente larga. TREE (4) es mucho más grande que TREE (3), pero sigue siendo un número finito.
