¿Cuál es la forma más fácil de demostrar que || a | – | b || <= | ab |?

Prueba por contradicción:

Suponga || a | – | b || > | ab |

Debido a que LHS> RHS, multiplicar LHS por sí mismo y RHS por RHS no cambiará revertir la desigualdad.

|| a | – | b || ^ 2> | ab | ^ 2

|| a | – | b || ^ 2> | ab | ^ 2

El cuadrado de un número o su módulo son iguales. Por lo tanto,

(| a | – | b |) ^ 2> (ab) ^ 2

| a | ^ 2 + | b | ^ 2 – 2 | ab | > a ^ 2 + b ^ 2 -2ab

a ^ 2 + b ^ 2 – 2 | ab | > a ^ 2 + b ^ 2 -2ab

| ab |

Esto no puede ser cierto para ninguna a, b.

Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta.

Por lo tanto, || a | – | b || <= | ab |

Una forma simple de demostrar esto es la “fuerza bruta”.

Si:

[matemáticas] | a | = \ begin {cases} a & a \ ge 0 \\ – a & a <0 \ end {cases} [/ math]

Marque todos los casos diferentes [matemática] a <0, a> 0, b <0, b> 0, (ab) <0, (ab)> 0 [/ matemática] en las diversas combinaciones.

Un enfoque más elegante:

Ya que,

[matemáticas] | a | = \ sqrt {a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] | ab | \ ge || a | – | b || \ implica \ sqrt {(ab) ^ 2} \ ge \ sqrt {(\ sqrt {a ^ 2} – \ sqrt {b ^ 2}) ^ 2} [/ math ]

Podemos cuadrar ambos lados.

si || a | – | b || <= | ab |

entonces a ^ 2–2 | ab | + b ^ 2 <= a ^ 2–2ab + b ^ 2

entonces -2 | ab | <= - 2ab

entonces | ab |> = ab

y es obvio que es correcto.

Entonces lo entendemos

Demuestre que ambos lados son iguales cuando a y b tienen el mismo signo.

Entonces demuestre que | ab | es | a | + | b | cuando tienen signos opuestos (o cualquiera es cero).

Y finalmente, demuestre que || a | – | b || <= | a | + | b | mostrando que el primero es <= max (a, b) y el último es> = max (a, b).