¿Alguien puede refutar un teorema probado?

No existe un “teorema probado”, solo hay un “teorema que tiene una prueba”. La prueba en sí podría tener fallas en su lógica o supuestos ocultos que resultan ser falsos. Por ejemplo, podría argumentar que todos los números son primos. Mi prueba es que cada número es divisible por sí mismo y por uno. Para refutar esto, solo tendría que encontrar un contraejemplo, digamos 4, y demostrar que sí, es divisible por 1 y en sí mismo, pero también es divisible por 2. Esto es un defecto en la lógica de mi prueba.

Sin embargo, en general, cuanto más tiempo haya existido una prueba, y cuantas más personas hayan trabajado en ella, menos probable será que sea refutada fácilmente.

Quizás el ejemplo más famoso de algo como esto son las leyes de Newton. En el siglo XIX, la mayoría de la gente habría considerado las leyes de Newton “probadas”. Sin embargo, había una suposición oculta en las leyes, que nadie se había dado cuenta, que era que el tiempo es constante y universal en todos los marcos de referencia.

Sin embargo, a finales del siglo XIX comenzaron a ocurrir experimentos que no se alineaban con las leyes de Newton. Einstein se dio cuenta de que la razón era probable porque la suposición anterior era falsa y postuló nuevas leyes que no hicieron que el tiempo de la suposición fuera relativo en todos los marcos de referencia.

Las nuevas leyes de Einstein explicaron más experimentos que las leyes de Newton, por lo que las leyes de Newton generalmente se consideran refutadas.

Para refutar la afirmación de Turing, deberá demostrar que dicho programa podría existir. Esto implicaría que Turing hizo alguna suposición que resultó ser falsa o que hay un defecto en su lógica.

Recientemente, la gente ha afirmado que tal programa podría existir si se tuviera en cuenta la mecánica cuántica (aunque las afirmaciones resultaron ser falsas, creo), por lo que todavía hay personas que todavía lo intentan y creen que es posible.

Podría relacionar matemáticamente el teorema con un axioma específico en el contexto de la base matemática de la que está trabajando (probablemente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel o ZFC si hablamos de matemáticas clásicas), y luego objetar dicho axioma en motivos de disgusto filosófico. Por ejemplo, los constructivistas eliminan el lema de Zorn (entre muchos otros resultados satisfactorios, pero también algunas paradojas verídicas notables) al rechazar el axioma de elección, al que es lógicamente equivalente en el contexto de ZF.

Sin embargo, lo que es importante tener en cuenta en este enfoque es que requiere un análisis dedicado y una contabilidad continua para obtener una comprensión profunda de los efectos que tiene rechazar un teorema dado en todo su marco matemático. En el caso del axioma de elección, puede deshacerse de la paradoja de Banach-Tarski, pero también pierde muchos buenos resultados, como que cada espacio vectorial tiene una base, cada anillo tiene un ideal máximo, etc. Al, y los trabajos sobre los fundamentos de las matemáticas a menudo están plagados de resultados marcados como “Teorema (AC)” o algo por el estilo, ya que existe un interés en rastrear la prevalencia de resultados que dependen del axioma de elección.

EDITAR: No leí la pregunta completa. No hay forma de deshacerse de la indecidibilidad del problema de detención, esa cosa está revestida de hierro. De mi lectura tengo la sensación de que incluso los constructivistas no esperan derrocar a ese.

Hay exactamente dos maneras en que esto puede suceder:

1. La prueba original tenía un error en alguna parte, es decir, dos afirmaciones consecutivas no se seguían lógicamente entre sí en algún momento de la prueba.
2. El teorema es verdadero y falso, lo que significa que los axiomas de las matemáticas en sí son inconsistentes, en cuyo caso tendremos que desecharlos y construir algo nuevo.

Si bien técnicamente no podemos descartar la segunda posibilidad (gracias, Godel), las posibilidades de que este sea el caso son astronómicamente bajas.

Los matemáticos tienen el proceso de revisión por pares precisamente para ayudar a evitar que ocurra la primera posibilidad. En el caso del problema de detención, creo que podemos decir con confianza que Turing tenía razón.

¿Se pregunta si puede haber una prueba de una declaración [matemática] P [/ matemática] y una prueba de su negación [matemática] \ neg P [/ matemática]?

Si pudieras hacer eso, entonces podrías probar cada declaración desde [matemáticas] P \ land \ neg P \ Rightarrow Q [/ matemáticas] para todas las declaraciones [matemáticas] Q [/ matemáticas]. En otras palabras, la teoría con la que estás trabajando es inconsistente.

Esa explicación puede no ser satisfactoria, así que echemos un vistazo a las teorías y sus axiomas y sus modelos. Y limitemos la discusión a la lógica de primer orden, que es lo suficientemente grande como para abarcar la mayoría de las matemáticas.

En 1929, Gödel demostró su teorema de integridad: una declaración en una teoría de primer orden es demostrable si y solo si es cierta en todos los modelos. Una teoría consiste en predicados y axiomas. Un modelo es una interpretación de los predicados en los que se mantienen todos los axiomas. Entonces, el teorema de completitud dice que puedes probar una declaración de los axiomas si y solo para cada modelo de la teoría esa declaración es verdadera.

Ahora, si puede probar tanto [math] P [/ math] como [math] \ neg P [/ math], eso significa que ambos son verdaderos en cada modelo. Pero si existe incluso un modelo, exactamente uno de [matemática] P [/ matemática] y [matemática] \ neg P [/ matemática] puede ser cierto; Ambos no pueden ser verdad. Eso significa que si puede probar ambos, entonces no hay modelos. En otras palabras, no hay forma de interpretar su teoría; Tu teoría es inconsistente.

Algunas teorías son demostrablemente consistentes, como la geometría euclidiana elemental. Es imposible que haya una prueba de [matemática] P [/ matemática] y de [matemática] \ neg P [/ matemática] para cualquier enunciado [matemática] P [/ matemática] en geometría euclidiana. La consistencia de la teoría de números requiere una teoría más fuerte que la teoría de números como en la prueba de Gentzen.

Por otro lado, no es difícil encontrar axiomas que sean contradictorios, y de ellos puede probar todas las declaraciones y sus negaciones. Por ejemplo, el axioma [matemática] \ existe x, x \ neq x [/ matemática] no tiene modelos ya que en cada modelo [matemática] \ forall x, x = x [/ matemática].

En resumen, si está trabajando en una teoría coherente, no puede probar y refutar una declaración; solo puedes hacer eso en una teoría inconsistente.

Sobre el problema de la detención. Se ha demostrado que no existe un algoritmo en el sentido de Turing que pueda resolver el problema de detención. No existe un algoritmo que le indique si un programa se detendrá. A menos que cambie la definición de “algoritmo”, “programa” o “alto”, eso responde la pregunta.

Los teoremas matemáticos se siguen de los axiomas. Solo el cambio del conjunto de axiomas puede posiblemente refutarlos.

Esto es muy diferente de la física, donde las leyes físicas son una conjetura al principio y luego se confirman por evidencia experimental que ciertamente está limitada por el avance tecnológico de la época. Existe la posibilidad de refutar / modificar una ley física cuando un experimento posterior encuentra alguna anormalidad (tal vez debido al avance de los recursos tecnológicos en el futuro) que no podría explicarse por el conjunto de leyes existentes.

No

Primero déjame no ser específico de Matemáticas; pero a la verdad percibida, aceptada en general.

Se acepta una ‘prueba’ basada en el consenso existente formado por expertos en el campo. Esta es una función de nuestro conocimiento existente del campo.

Entonces, para probar algo, tiene que tener sentido y verificar con los datos existentes. Esta ‘verdad’ es relativa, no absoluta.

Viniendo a las matemáticas ahora. Las matemáticas no son ciencias. Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia. Cada resultado se deriva mediante el uso de resultados existentes, al igual que cada oración se forma mediante el uso de palabras existentes. Como explica otra respuesta aquí, este conocimiento existente se llama ‘axiomas’.

Ahora, siempre y cuando sigas la estructura correcta de un idioma usando las palabras correctas, no puedes equivocarte. Lo mismo vale para las matemáticas. La única forma en que puede salir mal es si se demuestra que un axioma es incorrecto. Pero esto es por definición imposible. Un axioma es un “hecho”; Una verdad absoluta. No necesita pruebas, y nunca será refutada.

P.ej. “El todo siempre es mayor que una parte”.

¿Cómo se puede refutar esto?

Como señala Senia Sheydvasser, esto no puede ocurrir a menos que la prueba sea incorrecta o haya un problema fundamental con el sistema matemático utilizado; pero creo que esta pregunta realmente es: ¿cómo sé si puedo confiar en el teorema? Y la respuesta es: la mejor manera de establecer eso es leer la prueba y comprender por qué el teorema es verdadero. Asegúrese de seguir todos los pasos del argumento. Si no se convence de que el resultado es verdadero, intente formular de manera muy explícita qué paso en el argumento le resulta poco convincente.

En la mayoría de los casos en los que hago esto, o encuentro un error en la prueba o me convenzo de su verdad. En este caso, el teorema es verdadero, por lo que dicho algoritmo nunca existirá.

¡Si! y ha sucedido
Un teorema que ha sido probado bajo ciertos axiomas puede tener uno de los axiomas invalidado o reemplazado. El caso más famoso de esto es:
Los geómetras euclidianos demostraron que los ángulos interiores de un triángulo suman 2 ángulos rectos.
Hoy se puede demostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman menos de dos ángulos rectos.
Y aún más interesante, también podemos demostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman más de dos ángulos rectos.
(Ver Geometrías no euclidianas).
Bolyai (uno de los descubridores de geometrías no euclidianas) finaliza su trabajo mencionando que no es posible decidir a través del razonamiento matemático solo si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; Esta es una tarea para las ciencias físicas.

Pendientemente No. Si algo fue probado y luego refutado, significa que hubo una falla en la prueba original. Pero en serio no hay papa de las matemáticas. Las personas piensan que tienen una prueba de que lo envían para su revisión por pares. Esperemos que los errores se capturen principalmente en el proceso, ya que será vergonzoso para las personas que se perdieron los errores.

Pero así es como generalmente funciona el proceso. El punto importante es que funciona con el tiempo. Si aparece una teoría mejor, eventualmente será aceptada, pero el proceso lleva tiempo.

No hay bala mágica. Las mentes humanas tienen que probar las teorías y decidir si se sostienen o no.

Creo que las pruebas falsas se producen principalmente por lógica defectuosa, sino por no incluir todos los casos en el alcance del argumento.

Los que se me ocurren:

• La primera prueba de Andew Wiles del último teorema de Fermat falló en un pequeño conjunto de casos
• la prueba falsa con respecto a tres círculos en un triángulo no consideró el algoritmo codicioso círculos Malfatti

Fundamentalmente hay una idea errónea aquí, creo.

Cuando demuestras algo verdadero, siempre fue cierto, no pasando mágicamente de ser falso a ser verdadero.

En otras palabras, si algo se probó correctamente , entonces no hay forma de refutarlo.

Miembro de la audiencia: “¡Tengo un contraejemplo para ese teorema!”

Orador: “Está bien, tengo dos pruebas”.