¿Cuál es la forma más fácil de entender los teoremas de incompletitud de Gödel? ¿Hay afirmaciones que tengan valores de verdad que no puedan determinarse excepto meta-matemáticamente?

Muchas respuestas geniales aquí. Sin embargo, aquí hay una analogía muy simple a la que me gusta aludir cuando intento explicar la idea del “estado incompleto” de Gödel a cualquiera, sin pasar por las decenas de contradicciones y paradojas que la gente cita.

Considera una bicicleta. Tiene todos los atributos de una bicicleta: dos ruedas, un cuadro, un portador, un asiento, engranajes, etc. Se puede montar, etc.

Pero, ¿pueden explicarse el ciclo, y solo el ciclo ? Es decir, ¿puede usted, al examinar el ciclo SOLAMENTE, conocer cómo se hizo, cómo es dónde está y preguntas similares sobre sí mismo?

Claro, puede verificar la marca del ciclo desde la etiqueta, pero para comprender completamente la existencia del ciclo necesita saber sobre la fábrica donde se fabricó, quién lo llevó al lugar donde está parado y cosas por el estilo.

Entonces, básicamente, debes ir más allá del ciclo para explicar el ciclo por completo.

En otra Es decir, para explicar completamente un sistema individual, debe ir más allá del sistema. Para reformularlo más, un sistema no puede explicarse a sí mismo.

Ahora, reemplace el ciclo / sistema con el universo. Para explicar completamente el universo, puedes cuestionar el universo, todo lo que quieras, pero nunca llegarás a entender por completo

Nuevamente, en otras palabras, el universo no puede explicarse por completo.

Esta es la verdad básica detrás del concepto de Gödel.

En cualquier sistema formal capaz de representar aritmética, el sistema es:

• Incompleto : hay declaraciones que no pueden ser probadas, ni su negación, dentro del sistema formal ; o
• Inconsistente : cualquier afirmación puede ser probada al igual que su negación.

Un “sistema formal” es cualquier colección bien definida de símbolos y reglas de lógica para manipular declaraciones hechas con esos símbolos. El teorema de Gödel no se aplica al razonamiento informal.

Al observar un sistema formal desde fuera del sistema e interpretar las pruebas dentro del sistema como preservando la verdad, la gente malinterpreta el Teorema de incompletitud de Gödel como diciendo que los sistemas formales no son capaces de representar toda la verdad. Este es precisamente el tipo de razonamiento informal al que no se aplica el teorema de Gödel. También es esta interpretación errónea del teorema lo que conduce a un malentendido y mal uso generalizado del teorema.

Por ejemplo, esto no significa que el razonamiento informal sea más poderoso que el razonamiento formal. Tampoco significa que la “percepción humana” sea más poderosa. Tampoco esa Verdad (con una ‘T’ mayúscula) es mística. Simplemente significa que los sistemas formales complejos son incompletos o inconsistentes.

Los teoremas de incompletitud de Gödel son un resultado absolutamente fascinante de la metamatemática, en relación con la demostrabilidad de las afirmaciones en sistemas axiomáticos.

Idealmente, lo que queremos de un sistema axiomático es que sea capaz de probar todas y solo las verdades que se encuentran en cualquier modelo de ese sistema axiomático. Por ejemplo, si el sistema axiomático se usa para describir los números naturales (por ejemplo, la aritmética de Peano), lo ideal sería que el sistema sea capaz de probar cualquier cosa que sea verdadera para los números naturales (como el infinito de los números primos o el hecho que 1 + 1 = 2) y nada que no sea cierto (como 1 = 2).

Probar solo las cosas que son verdaderas se conoce como solidez y probar todas las verdades se conoce como integridad. Luego está el concepto de consistencia, que básicamente significa que no podemos probar y refutar una proposición. La solidez implica consistencia pero no al revés.

Resulta que, en el caso de los números naturales, no es posible construir un sistema axiomático que sea sólido y completo.

El primer teorema de incompletitud de Gödel establece que cualquier sistema axiomático consistente lo suficientemente fuerte como para incluir la teoría básica de números debe contener una verdad que no se pueda probar en el sistema mismo. En otras palabras, hay hechos sobre los números que son verdaderos, pero que no se pueden probar si el sistema es consistente. Esto significa que nuestro sistema axiomático está incompleto si es consistente. Este estado incompleto es esencial porque, incluso si agregamos un nuevo axioma al sistema para dar cuenta de nuestra verdad no demostrable, existirá otra verdad que no se puede probar, etc., etc. Si, por otro lado, el sistema es inconsistente, podemos probar todo y el sistema es trivialmente completo, porque todas las verdades pueden ser probadas, pero desafortunadamente tampoco tiene valor, porque también prueba todas las falsedades. En otras palabras, el sistema es incompleto o inconsistente. Muchas pruebas de este hecho se basan en The Liar Paradox.

Es posible que podamos vivir con el hecho de que nuestro sistema axiomático es esencialmente incompleto, pero empeora. El segundo teorema de incompletitud de Gödels establece que la consistencia del sistema axiomático no puede establecerse utilizando el sistema mismo. O para decirlo de otra manera, la consistencia de un sistema consistente es una verdad tan infranqueable como el primer teorema de incompletitud garantiza que existe.

Aplicado a la totalidad de las matemáticas (incluida la teoría básica de números), esto significa que no podemos saber si es incompleto o inconsistente. Si es consistente, entonces debe existir verdades no demostrables y, visto desde el otro lado, si prueba todas las verdades, entonces es inconsistente, lo que nos permite probar todo, incluidas las falsedades que hacen que el sistema no sea sólido. En general, los matemáticos tienen buenas razones para creer que las matemáticas son consistentes (aunque no pueden probarlo) y que, por lo tanto, existen verdades que no se pueden probar.

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Descargo de responsabilidad: esta respuesta comparte mucha información con otra respuesta mía sobre el tema de los Teoremas de incompletitud de Gödel (la respuesta de John Gould a ¿Qué efecto tiene el teorema de incompletitud de Godel en las leyes de la física?)

Me gusta la siguiente explicación del primer teorema de incompletitud de Gödel, de los “teoremas de incompletitud de Gödel” de Smullyan.

Suponga que tiene una computadora que imprime declaraciones (posiblemente verdaderas, posiblemente falsas). La computadora es lo suficientemente potente como para imprimir declaraciones de la forma “WillNeverPrintTwice.X”, y se dice que tales declaraciones son ciertas si la computadora nunca imprime “XX”. Por ejemplo, “WillNeverPrintTwice.Hello” es verdadero si la computadora nunca imprime “HelloHello”.

Ahora considere la declaración “WillNeverPrintTwice.WillNeverPrintTwice”. Por definición, la afirmación es cierta si la computadora nunca imprime “WillNeverPrintTwice.WillNeverPrintTwice”. – Entonces, si nuestra computadora solo imprime declaraciones verdaderas, entonces tenemos una declaración verdadera pero no imprimible.

En otras palabras, si nuestra computadora nunca miente y es lo suficientemente expresiva como para imprimir ciertos tipos de declaraciones (si nuestro sistema formal es consistente y puede expresar aritmética), entonces hay una declaración verdadera de que nuestra computadora no puede imprimir (hay un declaración verdadera de que nuestro sistema formal no puede probar).

Si está familiarizado con el marco de los Knights and Knaves de Smullyan, esta es una de las demostraciones más directas de la primera prueba de incompletitud.

Vienes a una isla y descubres que todos allí son un caballero o un bribón. Los bribones siempre mienten, los Caballeros siempre dicen la verdad. Sin embargo, no estás seguro de cuál es cuál. En esta isla en particular, la gente solo pronuncia una frase.

Los Caballeros y los bribones representan proposiciones en el sistema formal dado. Su frase es la proposición que representan. Los que dicen los Caballeros son las proposiciones verdaderas y las falsas proposiciones.

Sin embargo, algunos Caballeros tienen el privilegio de ser teoremas. Cada uno tiene un pequeño certificado que dice “He sido probado”. Sabes que las personas con certificados deben ser Caballeros. (Asumimos que nuestro sistema es consistente).

Algunos lemas preliminares a la prueba de incompletitud con respecto a la recursividad y la demostrabilidad básicamente afirman que en sistemas lo suficientemente robustos como para probar hechos básicos de aritmética, los teoremas pueden hablar de sí mismos. (La razón por la cual esto es cierto es, en cierto sentido, la verdadera carne del teorema de la incompletitud, pero la mayor parte es bastante técnica).

Entonces caminas por la isla y conoces a alguien cuya frase es “No se me puede dar un certificado”. ¿Qué puedes concluir sobre ellos? Si son un bribón, entonces se les puede dar un certificado (nuestro sistema es bivalente). Pero luego, por el supuesto de coherencia, su frase debe ser cierta. Se deduce que deben ser un caballero. Por contradicción, esta persona no puede ser un bribón. Entonces su declaración debe ser cierta. Entonces no se les puede dar un certificado. Esta persona es una oración de Gödel. Deben ser ciertas y, en virtud de su frase autorreferencial, no se pueden probar. Por lo tanto, el sistema formal que representan nuestros Caballeros y bribones es incompleto.

Otra forma de ver los teoremas de incompletitud de Goedel, así como la indecidibilidad del problema de detención (bien mencionado en una respuesta anterior) es como argumentos de contabilidad análogos a la prueba de Cantor de que (el conjunto de) números reales es incontable.

La prueba de Cantor utiliza un ingenioso argumento de diagonalización simple y elegante para demostrar que no puede haber biyección entre (los conjuntos de) números reales y números naturales.

La diagonalización muestra que para cualquier posible enumeración de todos los números reales, debe faltar un número real en la enumeración, construido a lo largo de la diagonal.

La prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención es una instancia ingeniosa de la prueba de Cantor aplicada a las máquinas de Turing y los lenguajes formales que aceptan. Establece (hablando informalmente), que no puede haber biyección entre conjuntos de todas las máquinas de Turing, que es contable, y el conjunto de todos los lenguajes formales, que no lo es.

Del mismo modo, el primer teorema de incompletitud de Goedel puede interpretarse en el sentido de que no hay biyección entre el conjunto de todas las teorías axiomáticas finitas (para una numeración de Goedel dada, es decir, codificación por números naturales), que es contable, y el conjunto de todas las pruebas posibles, que No es (contable).

Es bien sabido que existe una biyección entre los números reales y el conjunto de poder de los números naturales. Una manera fácil de ver esto es mirar todos los números reales entre 0 y 1 en el sistema binario, que son simplemente secuencias infinitas de 0s y 1s. Cada secuencia de este tipo puede asignarse claramente a un conjunto de números naturales correspondientes a las posiciones de 1 en la secuencia.

La relación por encima del poder puede interpretarse en el sentido de que el primer teorema de incompletitud de Goedel y la prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención indican que las cardinalidades de las teorías axiomáticas finitarias (o máquinas de Turing) son diferentes de las cardinalidades del conjunto de todas las pruebas (todos los idiomas formales) , ya que estos últimos son iguales a la cardinalidad del conjunto de poder de los números naturales.

“Tengo aquí una campana. Si John alguna vez dice que nunca tocaré esta campana, entonces la tocaré solo para mostrar a ese bastardo arrogante; de ​​lo contrario, lo dejaré intacto. (Por supuesto, cualquiera que esté seguro de que A John nunca se le mostrará mal acerca de nada, debe estar seguro de que nunca tocaré esta campana).

… Oye, John, ¿crees que alguna vez tocaré esta campana?

[La explicación cubre el primer y segundo teorema de incompletitud]

Dicho de otra manera:
Juguemos el juego. El juego es muy simple. No se puede ganar, solo se pierde, y tiene una sola regla: perder el juego siempre que creas que nunca lo perderás.

Tenga en cuenta que esta regla hace que sea más fácil evitar perder el juego: solo puede perder el juego en virtud de una creencia (particular) demostrablemente falsa. Si evitas escrupulosamente creer cosas demostrablemente falsas, no puedes perder el juego.

¿Entonces, qué piensas? ¿Tienes la confianza suficiente en ti mismo para concluir que nunca perderás el juego?

(Yo mismo he perdido el juego muchas veces …)

Para ampliar la respuesta de Matthew Schnall:

La idea básica es encontrar una forma matemática rigurosa de hacer la declaración autorreferencial “Esta declaración no es demostrable”. Una vez hecho esto, el resto es fácil: si suponemos que la afirmación “Esta afirmación no es demostrable” es falsa, entonces se deduce que la afirmación es demostrable y, por lo tanto, la afirmación es verdadera, pero esto contradice nuestra suposición inicial de que La declaración es falsa. Por lo tanto, la suposición debe ser falsa y la afirmación debe ser verdadera. Voila: tenemos una declaración verdadera que no es demostrable.

NB: Tanto mi respuesta como la respuesta de Matthew abordan únicamente el primer teorema de incompletitud de Gödel.

Esta es la mejor respuesta que puedo dar. Miré algunas de las otras respuestas, algunas de las cuales también votaron mucho, y muchas de ellas contienen errores o conceptos erróneos de los teoremas de Gödel.

El primer teorema:

“Cualquier sistema formal con sigma-solidez dentro del cual se pueda llevar a cabo cierta cantidad de aritmética elemental, es incompleto con respecto a las declaraciones de aritmética elemental. Es decir, hay declaraciones que no pueden ser probadas (para ser verdad), ni refutadas (probadas estar equivocado) en ese sistema con respecto a sus declaraciones en aritmética elemental “.

sigma-soundness significa que al menos ciertos (y no necesariamente todos) teoremas que son demostrables en ese sistema son consistentes. Esta condición es una versión más suave de tener una consistencia completa dentro de la teoría. Esos ciertos teoremas son las declaraciones tipo Goldbach . Y una declaración similar a Goldbach es una que se puede describir con una propiedad que es calculable en base a un algoritmo.

Una cierta cantidad de aritmética es la parte importante. Es lo que hace que la teoría de números sea una teoría adecuada para ser discutida en el teorema de Gödel, pero hace que los números reales no sean una teoría adecuada para ser discutida. En otras palabras, la teoría de los números reales es completa y consistente. Además, lo incompleto es solo la parte aritmética del sistema. Esto significa que puede haber muchas teorías en matemáticas o incluso otras materias, pero el teorema de incompletitud solo se puede aplicar a las que tienen cierta cantidad de aritmética elemental en ellas y solo se aplica a las declaraciones de esa aritmética elemental.

El primer teorema de Gödel por sí solo no dice nada acerca de la veracidad o falsedad de los teoremas que no pueden ser probados o refutados en la teoría. Pero si una declaración es también una declaración similar a Goldbach, entonces no ser demostrable y no refutable la hace verdadera automáticamente. En otras palabras, y si en un sistema incompleto (que tiene las condiciones necesarias del teorema de incompletitud de Gödel), se demuestra que cierta afirmación similar a Goldbach no es demostrable ni refutable, entonces esa prueba sería una prueba de su veracidad también (tal prueba no tiene nada que ver con el teorema de Gödel, ya que el teorema de Gödel solo habla de la existencia de tales declaraciones, por lo que la prueba debe llevarse a cabo de forma independiente).

El teorema de incompletitud de Gödel no está relacionado de ninguna manera con el cerebro humano, la filosofía, la física o la metafísica. Es un teorema puramente matemático bien conocido por los matemáticos, y no se considera algo extraordinario. Sin embargo, es un teorema elegante en la teoría de la lógica, y también se ha utilizado en informática en el problema de detención. También es necesario decir que el teorema de Gödel no se trata solo de declaraciones autorreferenciales. Las afirmaciones de Gödel no son necesariamente autorreferenciales y existen teoremas bien conocidos en la teoría de números, por ejemplo, que tienen una expresión muy simple, pero que han demostrado no ser demostrables ni refutables en la teoría de números.

Lo que básicamente dice el teorema de Gödel es que hay teoremas en ciertas teorías que ni se pueden probar ni refutar (y algunos de estos teoremas podrían ser ciertos), pero no se pueden probar ni refutar dentro de los límites de ese sistema, y ​​probablemente luego será probado o refutado usando otras teorías. En otras palabras, lo que sugiere este teorema es que los hechos que asumimos como los axiomas obvios de la teoría de números, por ejemplo, no son suficientes para cubrir todo lo que puede probarse o refutarse en la teoría de números. En algunas otras teorías, asumimos algunos otros axiomas obvios, por ejemplo, para construir la teoría de los Grupos Finitos, y esta nueva teoría también puede revelar algunos otros teoremas de la teoría de números, que no se pudieron probar en la teoría de números en sí.

Una buena referencia para esta discusión es el teorema de Gödel, Una guía incompleta para su uso y abuso por Torkel Franzen.

Sry ¡Sé que esto podría no ser una explicación fácil del teorema! Pero fue la versión más corta de una descripción completa del teorema, que se me ocurrió.

Primero, hay dos de ellos.

El primero

Cualquier sistema formal consistente [matemáticas] F [/ matemáticas] dentro del cual se pueda llevar a cabo una cierta cantidad de aritmética elemental es incompleto; es decir, hay declaraciones del lenguaje de [matemáticas] F [/ matemáticas] que no se pueden probar ni refutar en [matemáticas] F [/ matemáticas].

Segundo

Suponga que [matemáticas] F [/ matemáticas] es un sistema formalizado consistente que contiene aritmética elemental. Entonces [math] F \ not \ vdash \ text {Cons} (F) [/ math].

Ahora, en palabras simples.

El primer teorema dice que de cuatro propiedades (riqueza, integridad, consistencia, efectividad) de una teoría, uno no puede elegir más de tres.

El segundo teorema dice que una oración que diga “esta teoría es consistente” no puede ser probada en esta teoría si esta teoría es consistente, efectiva y rica.

Espero que ayude.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel en menos de 100 palabras:

Usando las matemáticas, podemos probar cosas como 2 + 2 = 4 y 2 + 2 ≠ 5. También podemos demostrar que podemos probar cosas como 2 + 2 = 4 y 2 + 2 ≠ 5 (y así sucesivamente). Sería realmente aterrador para las matemáticas si también pudiéramos probar cosas como 2 + 2 = 5.

Pregunta: ¿Podemos demostrar que no podemos probar cosas como 2 + 2 = 5?
Respuesta: no.

En 1931, Gödel demostró que SI pudiéramos demostrar que no podemos demostrar que 2 + 2 = 5 ENTONCES también podríamos demostrar que 2 + 2 = 5. En otras palabras, si las matemáticas tienen algún sentido, entonces es imposible para nosotros probar afirmaciones como “X no se puede probar”.

Dos pasos :

Primero, escriba un programa de computadora que se imprima sin buscar su código fuente en la memoria o en el disco. Cualquier idioma. Sugerencia: tendrá que usar una inteligente sustitución de cadenas y usar un código ascii numérico.

Esto es complicado, pero cuando lo resuelvas tú mismo habrás replicado el golpe maestro de Godel, la protuberancia autorreferencial de G. de Godel

Luego. como sugirió otro cartel, ve por el problema de detención. Demuestre que no puede existir una prueba automatizada que le indique si un programa de computadora termina alguna vez.

Supongamos que existe tal prueba, llámelo Halt (P) donde P es algún código fuente.

Escriba un nuevo programa llamado Spite:

Rencor (P):
si se detiene (this-programmes-source-code) luego se bloquea,
De lo contrario, renuncia.

Este programa por diseño hace lo contrario de lo que Halt () dice que hace, por lo tanto, Halt no funciona en este caso. ‘this-programmes-source-code’ es fácil de calcular una vez que dominas el truco de la autoimpresión.

Finalmente, convénzase usted mismo de que la afirmación “este programa terminará” se puede traducir directamente a la teoría de números.

La respuesta de John Gould es una excelente explicación de las consecuencias prácticas de los teoremas de incompletitud, por lo que no voy a ampliar eso. En cambio, aquí está el relato realmente simple de cómo funcionan los teoremas. Básicamente, lo que hizo Godel fue construir una oración que diga “Esta oración no es demostrable”. Como cualquier oración, la oración de Godel debe ser verdadera o falsa. Si es cierto, entonces realmente no debe ser demostrable, porque eso es lo que dice. Entonces, en ese caso, el lenguaje que contiene esa oración es incompleto. Pero si la oración de Godel es falsa, entonces debe ser demostrable, por lo que el lenguaje debe tener una prueba de una oración falsa, haciéndola inconsistente.

La parte difícil de la prueba de incompletitud de Godel es mostrar que cualquier sistema formal que tenga la capacidad de expresar los principios que rigen los números naturales también puede expresar una oración de Godel.

El gran logro de Gödel fue producir una versión hermética de la paradoja de Epimenides.

Epiménides, un cretense, sostuvo que todos los cretenses siempre decían mentiras, en cuyo caso, su declaración debe creer lo que se afirmaba. Más precisamente, podemos considerar la afirmación ‘Esta afirmación es falsa’, y llevarnos a una inconsistencia ya sea si asumimos que la afirmación es verdadera o si asumimos que es falsa. En el pasado, los filósofos evadieron la paradoja argumentando que la frase de referencia ‘Esta afirmación’ en realidad no pudo referirse, pero Gödel encontró una forma hermética de referirse a fórmulas bien formadas que expresan proposiciones asignando a cada uno un número.

Las propiedades de una fórmula bien formada (como ser un axioma) y las relaciones entre ellas (como una fórmula bien formada que sigue a otra) podrían representarse como propiedades aritméticas y relaciones entre números, respectivamente. Gran parte de la lógica podría representarse en términos de propiedades aritméticas y de relaciones entre números, aunque, como Tarski había descubierto anteriormente, el concepto de verdad no podía representarse adecuadamente de esta manera. Aunque no pudo representar el concepto de verdad, Gödel pudo representar el de “demostrabilidad”, “demostrabilidad en cualquier sistema formal que se haya elegido”. Entonces, aunque no pudo representar aritméticamente la declaración original de Epiménides, pudo calcular un número astronómicamente alto que se referiría a la fórmula que expresa la proposición ‘Esta proposición no es demostrable’.

Si la verdad puede superar la posibilidad de prueba, la realidad puede superar el conocimiento. Muchos pensadores modernos han pensado evadir el escepticismo al reducir la realidad a lo que se puede conocer de forma segura. Los idealistas, los fenomenalistas y los intuicionistas matemáticos reconstruyen nuestras declaraciones sobre la realidad como declaraciones realmente sobre el conocimiento, o sobre datos sensoriales, o sobre pruebas matemáticas. Pero una vez que podemos separar el contenido de una afirmación de verdad de la orden de aserción, podemos permitir que hagamos afirmaciones sobre la realidad aunque no sepamos que son ciertas. La asertividad garantizada es una cosa, la inteligibilidad es la antera. Puedo entender el último teorema de Fermat o la conjetura de Goldbach aunque no puedo probarlos; y, de manera similar, especulaciones sobre quarks o el comienzo del universo. Los argumentos verificacionistas fallan. Pero también lo hacen argumentos escépticos que lo abarcan todo. Porque aunque hay una diferencia entre ser demostrable en algún sistema específico y ser verdadero, la verdad de la fórmula de Gödel se puede establecer de manera incontrovertible. No hay duda de que la fórmula de Gödelian es verdadera y, por lo tanto, de que la fórmula de Gödelian no es demostrable en el sistema dado de aritmética de primer orden y, por lo tanto, es cierta. Por lo tanto, es demostrable, pero no en el sistema dado de aritmética de primer orden.

Aquí hay algunas buenas explicaciones, pero fui AtA’d, así que aquí está mi versión.

El primer teorema de incompletitud :
Si basamos nuestras matemáticas en un sistema fundamental que es consistente (es decir, no puede probar una declaración verdadera y falsa) y lo suficientemente potente como para incluir la aritmética básica *, entonces habrá declaraciones verdaderas que no se pueden probar dentro del sistema.

Esto significa que cualquier sistema en el que pueda basar matemáticas interesantes es consistente (no conduce a contradicciones) o completo (prueba o refuta cualquier afirmación) pero no ambas. Lo cual es una pena porque nos gustaría que pudiéramos tener ambos.

* puedes ignorar esta segunda condición cuando intentas entender esto. Está ahí porque puedes hacer pequeños sistemas ridículos para los que esto no es válido, pero cualquier sistema que sea lo suficientemente poderoso como para hacer algo útil lo satisfará.

El segundo teorema de incompletitud :
Dado un sistema como el descrito anteriormente, no puede probar su propia consistencia. Es decir, si es consistente, entonces no puede probar que lo es, dentro del sistema. Por lo tanto, la afirmación “este sistema es consistente” es una afirmación verdadera pero que no se puede probar. Es un ejemplo (particular, importante) de las cosas que el primer teorema demostró existir.

Por lo tanto, no solo nuestro sistema solo puede tener una de las dos propiedades que nos gustaría (consistencia e integridad), ni siquiera podemos probar que tenga consistencia, que es la más importante de las dos. Gorrón.

Imagina que te dan una caja de Lego. Le dicen que si simplemente junta las piezas de la manera correcta, en principio puede hacer cualquier cosa que se pueda hacer con Lego. Le dicen que las cosas tienen que formarse juntas correctamente, no es necesario hacer trampas o simplemente juntar piezas.

Esto parece totalmente comprensible.

Ahora imagine que aparece algo y le muestra un objeto construido con Lego, y puede ver que todo está formado correctamente, pero él puede demostrar que no importa cuánto lo intente, si comienza con una caja de Legos, nunca ser capaz de construir ese objeto,

Tu cerebro se derrite.

Eso es un poco como el teorema de Godel.

Hombre, todas excelentes respuestas. Pero no estoy seguro de que ninguno de ellos sea “fácil” de entender. Lo que puede ser inevitable, es un teorema bastante serio. Sin embargo, quiero intentarlo, aquí está mi oportunidad de hacer shorthanding en inglés simple:

“Un sistema formal es un conjunto de reglas específicas que describen las cosas con precisión. Las matemáticas son un muy buen ejemplo de un sistema formal que se usa todo el tiempo. Los sistemas formales se pueden usar para crear declaraciones y luego decirle si son verdaderas o falsas .

Odio decírtelo, amigo, solo tendrá que aceptar que hay declaraciones verdaderas que no puede probar como verdaderas en su sistema formal … bueno, no a menos que estés dispuesto a conformarte con un sistema que a veces se contradice.

Uno u otro, no puede ser de ambas maneras … ”

– Irwin P. Godel

Bien, así es como explico una versión muy aproximada (pero intuitiva):

Cuanto más asuma / axiomatice para un sistema dado, más probabilidades tendrá de terminar con algo completo. Pero también aumenta las posibilidades de que algo que asumes [1] termine siendo inconsistente con algo más que asumas.

Del mismo modo, cuanto menos asumas, menos completo será tu sistema. Al mismo tiempo, sin embargo, disminuye las posibilidades de que dos cosas que asumas sean incompatibles / inconsistentes entre sí.

Es por eso que es difícil ser completo y consistente , porque ambos no son tan compatibles entre sí.

[1] o alguna consecuencia lógica de ello cuando se combina con todos los demás supuestos

Dado un sistema axiomático S, es un algoritmo para producir oraciones verdaderas sobre aritmética. Entonces puede probar cosas sobre programas de computadora.

Escriba el programa Godel para hacer lo siguiente:

1. Imprima su código en una variable R
2. Deduce teoremas en S, buscando una prueba de “R no se detiene”.
3. Cuando lo encuentra, se detiene.

Entonces “Godel no se detiene” no se puede probar en S.