Una de las formas más sencillas de encontrar una raíz cuadrada es el método de Newton. Tome la raíz cuadrada de 2. Y deje que la primera aproximación (muy cruda) sea [matemática] q_1 = 1 [/ matemática]. Luego se obtiene la siguiente aproximación utilizando la fórmula:
[matemáticas] q_2 = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ left (q_1 + \ displaystyle \ frac {2} {q_1} \ right) = 1.5. [/ math]
En otras palabras, dividimos 2 por la aproximación. Si la aproximación fuera perfecta, obtendríamos el mismo valor ([math] 2 / \ sqrt {2} = \ sqrt {2} [/ math]). Pero no lo es … así que obtenemos algún otro valor. Y promediamos nuestra antigua aproximación y este nuevo valor para obtener una nueva aproximación.
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Repitamos el proceso varias veces:
[matemáticas] q_3 = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ left (q_2 + \ frac {2} {q_2} \ right) = 1.4166667, [/ math]
[matemáticas] q_4 = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ left (q_3 + \ displaystyle \ frac {2} {q_3} \ right) = 1.4142157, [/ math]
[matemáticas] q_5 = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ left (q_4 + \ displaystyle \ frac {2} {q_4} \ right) = 1.4142136, [/ math]
y eso es tan bueno como puede ser, a 8 dígitos de precisión. ¿Ves cuán rápido convergió la solución? Es muy fácil de usar con una calculadora, y hasta 3-4 dígitos, incluso puede hacerlo en su cabeza.
Mejor aún, el mismo método puede usarse para otras raíces. Intentemos calcular la raíz cúbica de 2, usando [math] c_1 = 1 [/ math]. Ahora, lo que tenemos que hacer es dividir 2 por el cuadrado de la última aproximación: eso es porque [matemáticas] \ sqrt [3] {2} = 2 / (\ sqrt [3] {2}) ^ 2 [/ matemáticas ] Y le damos a la estimación anterior un peso proporcionalmente mayor cuando promediamos. Por lo que entonces:
[matemáticas] c_2 = \ displaystyle \ frac {1} {3} \ left (2c_1 + \ displaystyle \ frac {2} {c_1 ^ 2} \ right) = 1.3333333, [/ math]
[matemáticas] c_3 = \ displaystyle \ frac {1} {3} \ left (2c_2 + \ displaystyle \ frac {2} {c_2 ^ 2} \ right) = 1.2638889, [/ math]
[matemáticas] c_4 = \ displaystyle \ frac {1} {3} \ left (2c_3 + \ displaystyle \ frac {2} {c_3 ^ 2} \ right) = 1.2599335, [/ math]
[matemáticas] c_5 = \ displaystyle \ frac {1} {3} \ left (2c_4 + \ displaystyle \ frac {2} {c_4 ^ 2} \ right) = 1.2599211, [/ math]
[matemáticas] c_6 = \ displaystyle \ frac {1} {3} \ left (2c_5 + \ displaystyle \ frac {2} {c_5 ^ 2} \ right) = 1.2599210. [/ math]
Converge casi tan rápido (el valor correcto es 1.2599210, que se logra después de 6 iteraciones).
De hecho, este método funciona para tomar raíces más altas: para tomar la raíz [matemática] n [/ matemática] de un número [matemático] x [/ matemático], la fórmula de iteración es
[matemáticas] r_ {k + 1} = \ displaystyle \ frac {1} {n} \ left [(n-1) r_k + \ displaystyle \ frac {x} {r_k ^ {n-1}} \ right]. [ /matemáticas]
Y, al igual que en el caso de las raíces cuadradas, cada iteración básicamente duplica la cantidad de dígitos significativos. Y lo mejor de todo, el método es muy estable: la suposición inicial puede ser cualquier cosa, e incluso si comete un error en un punto, el método se corrige automáticamente.
