Sí, existen aplicaciones de la vida real para sistemas lineales que admiten muchas soluciones. Lo importante aquí es que uno puede parametrizar fácilmente todas las soluciones.
En resumen, lo que está haciendo es calcular el núcleo, también conocido como espacio nulo, de la matriz u operador lineal en cuestión. (En otras palabras, para resolver Ax = y, puede tomar cualquier solución x y luego agregar cualquier z tal que Az = 0; luego A (x + z) = Ax + Az = y + 0 = y. Por otro lado, si Ax = Ax ‘= y, entonces A (xx’) = 0, entonces z = xx ‘resuelve Az = 0. Entonces, dada una solución x, parametrizar todas las otras soluciones x’ es lo mismo que saber el valor nulo espacio de esas z’s de modo que Az = 0.) Es fácil, una vez que sepas algo de álgebra lineal, encontrar el espacio nulo de una matriz usando la eliminación gaussiana.
¿Cuándo podría importar que pueda parametrizar todas las soluciones? Por ejemplo, puede esperar aprender sobre nuevas restricciones más adelante. Supongamos que resuelve su sistema dado y descubre que está subdeterminado : existen múltiples soluciones. Puede elegir uno y desechar los demás, O puede realizar un seguimiento del conjunto de todas (infinitamente) soluciones, como se describe por el espacio nulo de alguna matriz. Mañana, su jefe se detiene y dice que olvidó mencionar algunas restricciones lineales adicionales que la solución debe satisfacer. Si ayer eligió una solución, podría estar jodido si no cumple con las nuevas restricciones; necesitas comenzar de cero. Pero si mantuvo todas las soluciones ayer, entonces es básicamente álgebra lineal simple incorporar las nuevas restricciones en el trabajo que ya ha realizado.
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Aquí se describe otro ejemplo muy agradable de encontrar la solución general a un sistema lineal subdeterminado que surge en la vida real: http://www1.math.american.edu/Pe…. Discute cómo surgen estas situaciones al trabajar con sistemas GPS, y está escrito en un nivel comprensible para alguien con solo un curso de álgebra lineal para el fondo.
