No hay una delimitación clara entre álgebra y análisis. Algo se considera más “algebraico” si se enfoca más en la estructura e interacción de las operaciones que subyacen a los objetos de estudio: grupos de pensamiento, anillos, campos, etc. Algo se considera más “analítico” si se enfoca más en números reales y cantidades medibles, y la aproximación y el cálculo de los mismos – piense en cálculos, series de Taylor, derivados, integrales, etc.
La línea divisoria no está clara y esta es solo una clasificación aproximada. Hay muchas situaciones en las que se aplican ambas o ninguna de las etiquetas.
Ni la teoría de números ni la topología son puramente algebraicas o analíticas. La teoría de números, en un nivel elemental, tiende a ser algo más algebraica, ya que muchos de los teoremas y técnicas básicas son de naturaleza bastante grupal o teórica en anillo, por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat es un teorema sobre la estructura del grupo multiplicativo. Z / pZ. Pero quizás, sorprendentemente, hay muchas técnicas analíticas que también se pueden usar en la teoría de números más avanzada, como las funciones zeta.
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La topología es, de manera similar, un tema que utiliza métodos algebraicos y analíticos. El grupo fundamental es una herramienta algebraica, por ejemplo. Por otro lado, el trabajo que hizo Perelman hacia la conjetura de Poincaré es de naturaleza altamente analítica.
Una de las cosas interesantes sobre la topología es cómo las partes algebraicas y analíticas interactúan entre sí. Por ejemplo, uno puede definir la cohomología singular de un espacio de una manera bastante puramente algebraica, y sin embargo, la cohomología singular también está de acuerdo con la cohomología de De Rham de una variedad, que es algo que se define de una manera puramente analítica (a través de funciones suaves y sus derivados).