¿Cuál es el resto cuando [matemática] 10 ^ {1283} [/ matemática] se divide por [matemática] 514 [/ matemática]?

Creo que 486 será la respuesta … y lo resolví de la siguiente manera en 3 pasos (incluso puedes hacerlo en tu mente sin usar el bolígrafo, y puedes responderlo)

1. primero encuentre la Ciclicidad del divisor (514) = 514 * (1–1 / 2) * (1–1 / 257) = 256 (no es más que la función Euler Totient)
2. ahora escriba dividendo como en términos de ciclo …… .as ……… [(10 ^ 256) ^ 5] * [10 ^ 3]
3. que es igual a encontrar el resto de 1 * 10 ^ 3 = 1000 y finalmente

luego divida 1000 por 514 irá 1 veces dejando el resto como 1000–514 = 486

ps 257 es el número primo …

Tenemos [math] (10) ^ {1283} = 2 \ times 2 ^ {1282} \ times 5 ^ {1283} [/ math] y [math] 514 = 2 \ times 257 [/ math] siendo 257 un número primo. Según el pequeño teorema de Fermat, [matemáticas] 2 ^ {256} \ pmod {257} = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ {256} \ pmod {257} = 1. [/ matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] 2 ^ {1282} \ veces 5 ^ {1283} \ pmod {257} = 2 ^ 2 \ veces (2 ^ {256}) ^ 5 \ veces 5 ^ 3 \ veces (5 ^ {256}) ^ 5 \ pmod {257} = 4 \ times 125 \ pmod {257} = 243. [/ math] Por lo tanto [math] 2 ^ {1283} \ pmod {514} = 486. [/ math]

La respuesta es un poco simple, lo es.