¿Hay alguna esperanza de una prueba elemental del último teorema de Fermat?

Creo que es muy improbable que Fermat tuviera una prueba simple. A estas alturas, los matemáticos casi siempre han vuelto sobre todas las cosas que él habría visto. Es mucho más probable un error dado cuántos matemáticos desde entonces han cometido tales errores con el problema antes de que Wiles y Taylor finalmente lo resolvieran.

Es menos improbable que exista una simple prueba de que Fermat habría entendido fácilmente. A veces hay problemas que resisten todas las líneas de ataque hasta que alguien que trabaja en un problema diferente nota una forma de resolverlo desde un ángulo inesperado. De hecho, ese fue el caso con FLT, pero la prueba final no fue muy elemental en este caso.

Para ilustrar mi punto, permíteme establecerte un problema diferente de Diophantine para resolver. Deje que [math] x [/ math], [math] y [/ math] y [math] z [/ math] sean enteros positivos con la propiedad de que [math] (xy + 1) (yz + 1) (xz +1) = r ^ 2 [/ math] es un cuadrado. Entonces los números individuales [matemática] xy + 1 [/ matemática], [matemática] yz + 1 [/ matemática] yx [matemática] z + 1 [/ matemática] son ​​todos números cuadrados. Tengo una prueba realmente maravillosa de esto que Fermat habría entendido fácilmente, pero me temo que este margen es demasiado estrecho para contenerlo.

¿Puedes redescubrir mi prueba?

El hecho de que Fermat afirmara que es verdad no significa que realmente tuviera una prueba correcta. Generaciones de matemáticos, algunos de los cuales hoy se consideran iguales a Fermat en brillantez, trabajaron en este problema, y ​​ninguno anterior a Andrew Wiles pudo probarlo. Los matemáticos famosos que han trabajado en él incluyen Legendre, Lebesgue, Gauss, Dirichlet, Abel y muchos otros. El propio Fermat nunca publicó su prueba, a pesar de que tenía 30 años para hacerlo, lo que sugiere que más tarde se dio cuenta de que su prueba era defectuosa.

Tal vez sea un poco extraño que un teorema que se puede expresar de manera tan simple requiera una inmensa maquinaria matemática para probarlo, pero no sé de ninguna razón por la que este no debería ser el caso. Puede haber una prueba más simple, pero por ahora no es obvia.

Es cierto que, sea lo que sea que Fermat tuviera, no era lo que tenía Wiles.

Podría ser que Fermat tuviera algún pensamiento brillante y sorprendente que ningún otro matemático en los siglos siguientes haya logrado; pero parece inherentemente improbable. Parece más probable que tuviera alguna prueba “casi correcta”.

Personalmente, sin embargo, creo que es más probable que tuviera un destello de perspicacia, escribió una nota en el margen como un recordatorio para que lo investigara, y luego se olvidó de hacerlo o, pensándolo mejor, descubrió que su perspicacia había defectos Recuerde, cuando escribió la nota, era solo una nota para sí mismo.

En cuanto a la pregunta más amplia: no existe una conexión real entre lo difícil que es enunciar un teorema y lo difícil que es probarlo. Aquí hay tres teoremas que son fáciles de entender pero que no han sido probados:

1. La conjetura del primo gemelo: ¿Hay un número infinito de “primos gemelos” (es decir, primos separados por 2)?

2. La conjetura de Goldbach: ¿Puede cada entero par> 2 expresarse como la suma de dos números primos?

3. La conjetura de Collatz: Comience con cualquier número entero positivo. Si es impar, triplíquelo y agregue 1. Si es par, divídalo entre 2. Repita. ¿Todos los enteros eventualmente llegan a 1? (por ejemplo, comience con 6, es igual dividir entre 2 para obtener 3. Eso es extraño, 3x + 1 = 10. Continuar y es
6 3 10 5 16 8 4 2 1

Se ha demostrado que estos tres son verdaderos para muchos números y se han realizado varios progresos en cada uno, pero no hay pruebas.

Por otro lado, muchas disertaciones doctorales en matemáticas contienen pruebas originales de teoremas que son muy difíciles de entender pero (comparativamente) fáciles de probar; y hay muchos teoremas que son así.

Siempre existe la posibilidad de que los matemáticos más brillantes durante cuatro siglos hayan perdido algo inteligente pero simple. Pero, dada toda la poderosa maquinaria lanzada al problema, ante Wiles, sin éxito, esto parece extremadamente improbable.

Sin embargo, la pregunta no está realmente bien definida. Como señalaron otros, “elemental” no significa fácil (como en la prueba de Erdos y Selberg del Teorema del número primo, puede significar evitar métodos de análisis complejo; vea el bonito artículo de Goldfeld sobre esto, por ejemplo: http: // http://www.math.columbia.edu/~go …). Y fácil también puede significar no tan elemental. Dejame explicar.

Supongamos que las cosas sucedieron en un orden diferente al que sucedieron, a saber, que Wiles y Taylor (y, más tarde, Conrad, Breuil y Diamond) probaron primero la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora el Teorema de la modularidad). Entonces, Frey y luego Ribet llegaron y demostraron conjuntamente que un contraejemplo de Fermat violaría el Teorema de la Modularidad. Sus documentos no son simples ni breves, pero el punto es este: si pudieran tomar un resultado increíblemente difícil y emblemático como Modularidad y saltar de allí a una prueba de Fermat, ¿sería elemental?

En ese sentido, hay alguna esperanza de que el trabajo de Fermat sea un “corolario fácil” de algún hallazgo excepcionalmente profundo en la teoría de números. Si es así, la prueba de Fermat sería elemental , condicional a otros conocimientos fáciles de expresar. Pero una prueba fácil de principio a fin es una historia completamente diferente.

No.

Quiero decir, puedes esperar cualquier cosa. Puede esperar ganar la lotería seis veces seguidas la próxima semana. Puede esperar que su hija gane el premio Nobel de física, química, literatura, medicina y paz en seis años. Puede esperar que Facebook le regale veintitrés millones de dólares porque el humor discreto en sus actualizaciones de estado es tan brillante.

Ninguna de estas cosas es físicamente imposible, por lo que hay esperanza. Pero dado todo lo que sabemos sobre las matemáticas, la teoría de números, la conjetura de Fermat y la historia de su investigación, esperar que exista una prueba elemental es tan razonable como esperar que una comunidad de violetas de habla francesa de piel púrpura viva bajo los casquetes polares del Polo Norte. en Marte.

Incluso Fermat sabía que en realidad no tenía una prueba, ya que un tiempo después de que escribió su nota en el margen, trabajó en casos especiales, n = 3, n = 4, lo que habría sido inútil si ya hubiera demostrado El teorema general.

Lo más probable es que se le ocurriera algo inicialmente convincente, finalmente encontró un error o una brecha, pero dado que nunca tuvo la intención de mostrarle a nadie la nota donde reclamaba una prueba, nunca se molestó en volver y corregirla, porque ¿por qué ¿tú? Cada matemático tiene notas y un trabajo duro que dice cosas que no son ciertas, no esperes que alguien lo publique después de que estés muerto.

Con respecto a si alguna vez se encontrará una prueba más corta, diría que es bastante probable. A menudo sucede en matemáticas que la primera prueba de un teorema es larga y complicada y, finalmente, se encuentran otras más simples. Pero esto no tendría nada que ver con Fermat, o lo que él pudo haber hecho.

Fermat casi seguramente no tenía una prueba de su teorema.

No todas las declaraciones que Fermat afirmó eran ciertas. Por ejemplo, no todos los números de Fermat [matemáticas] 2 ^ {2 ^ n} +1 [/ matemáticas] son ​​primos, aunque Fermat dijo que lo eran. Él estaba equivocado.

Fermat no dio a conocer su “último teorema”, sino que solo escribió en su declaración su copia de la Aritmética de Diophantus . Nunca afirmó que tenía una prueba. Probablemente trabajó lo suficiente para convencerse lo suficiente como para anotar la declaración. No hay razón para creer que lo haya probado rigurosamente en general.

Con el tiempo puede haber una prueba más corta que la prueba de Wiles, pero tal vez no la veamos en nuestras vidas.

Editar La pregunta que respondí originalmente se ha fusionado en otra diferente. ¿Hay alguna esperanza de una prueba elemental del último teorema de Fermat?

El término prueba elemental significa cosas diferentes para diferentes personas. Para los lógicos y matemáticos, significa una prueba de primer orden en teoría de números, una que no implica un análisis real o complejo ni nada que implique límites. Si Fermat alguna vez tuvo una prueba, habría sido de este tipo ya que el análisis matemático no se había desarrollado en su tiempo. En general, estas pruebas elementales son mucho más complicadas. Puede tomar un tiempo encontrar una prueba tan elemental, pero si se pone suficiente esfuerzo en ella, se encontrará una.

Para los no matemáticos y no lógicos, una prueba elemental significa fácil. No, no hay esperanza de una prueba fácil.

Alguien me pidió que respondiera, presumiblemente esperando que fuera a decir algo más que “no”.

No.

Nadie nos prometió soluciones elementales a las cosas. Esto parece ser una sorpresa para las personas, pero no existe una ley del universo o incluso una heurística que nos lleve a esperar que exista una prueba elemental. Seguramente se habrían encontrado soluciones elementales, si existiera, debido a la gran cantidad de esfuerzo invertido en ello.

Es solo por la atención prestada a la dificultad de la prueba que alguien se molestó en probarlo. Hay una gran cantidad de otros teoremas igualmente difíciles que languidecen, sin prestarles atención, porque no tienen esa pequeña historia linda sobre el margen de Fermat. Nadie sabe cuál de ellos podría requerir desvíos a través de campos fascinantes como curvas elípticas. Todo lo que podemos hacer es resolver las cosas de acuerdo con nuestros caprichos y conjeturas.

Entonces no, no hay razón para pensar que debería haber una prueba elemental. Eso no significa que no pueda existir, y si alguien quiere dedicarle su tiempo, creo que son bienvenidos. Pero las probabilidades son buenas de que algún campo que haya sido menos pisoteado va a revelar algo de más interés.

En principio, cada prueba puede “descomprimirse” en una primaria, al igual que los lenguajes de programación de computadoras, no importa cuán sofisticados, todos finalmente se compilan en código máquina.

Entonces, la pregunta es realmente si hay una prueba elemental que sea comprensible para los humanos. Y eso parece muy poco probable.

Una razón es que las técnicas elementales tienden a generalizarse fácilmente: si funcionan para un problema, generalmente también resuelven una gran clase de problemas relacionados. Pero eso no puede suceder aquí:

• determinar si un sistema de ecuaciones de diofantina tiene alguna solución es un problema indiscutible.
• Las ecuaciones muy similares a la ecuación de Fermat tienen soluciones no triviales.

Además, tenemos soluciones elementales para valores pequeños de n, pero se complican rápidamente.

Para citar a CL Siegel: “La opinión actual sostiene que, en su ‘prueba’, Fermat cometió un error, pero un error digno de un matemático de primera clase”. Siegel dijo esto en 1966 (antes de la prueba de Wiles), y creo que todavía es la opinión mayoritaria entre los expertos de hoy.

Sabemos de pruebas casi elementales del último teorema de Fermat, y los errores en algunos de ellos son difíciles de detectar. Es bastante plausible que Fermat haya encontrado una prueba tan defectuosa y creyera sinceramente que era correcta. Por supuesto, no podemos saber con certeza si la prueba que él pensó que tenía era incorrecta, pero en general esto parece una explicación más probable. Después de todo, Fermat (como todo matemático) cometió otros errores en su trabajo matemático.

No estoy en desacuerdo con la respuesta de Alon Amit; en lo que a mí respecta, él lo tiene bastante bien. Sin embargo, quiero aclarar un punto: es concebible que uno pueda escribir una prueba de FLT sin usar curvas elípticas, y de hecho solo usando herramientas elementales de la teoría de números, y posiblemente algo de cálculo y geometría.

No puedo imaginar que tal prueba sea breve o incluso particularmente comprensible. Puede ser correcto , pero tratar de atravesarlo probablemente sea menos productivo que solo aprender sobre las curvas elípticas y las formas modulares hasta el punto de que pueda comprender la prueba de Wiles.

En todo caso, espero que algún día tengamos aún más maquinaria de alta tecnología, con la cual probar FLT será más fácil.

Puede intentar desarrollar su propia prueba de F_Last_T para primos impares q> 1 por los siguientes medios. Lo que muestra es que sí, Fermat ciertamente tenía en él que proporcionar una prueba completa. Habría recibido una gran ayuda de asistentes como el papel cuadriculado de sección transversal de 2 mm; un simbolismo de teoría de números mejor desarrollado; El uso de una calculadora y el uso de un procesador de textos, o aún mejor, tienen acceso a Miktex / Texmaker, ya que ahora está disponible gratuitamente en Internet.

El punto más importante, en mi opinión, es que Fermat claramente creía que una prueba elemental finita era posible. Compare esto con los muchos teóricos de números que han escrito a lo largo de los años que no creían que tal solución fuera probable. ¿Tenía razón Fermat, o tienen razón estos teóricos de números? Esta es una pregunta mucho más importante en mi opinión.

Buena suerte con tu propia prueba. Puedes hacerlo. Solo aguanta ahí.
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Defina una red de coordenadas de enteros simple (red s) L para que sea una red generada por pares de vectores base {(r, 1), (m, 0)} donde m> 1, mcd (r, m) = 1 y donde 0 <| r |

Wlog supongamos que a> 0 yb> 0. Supongamos también que mcd (a, b) = 1.

Ahora considere una red S (r, a ^ q + b ^ q) generada por el par de vectores base {(a, b), (b ^ (q-1), – a ^ (q-1)} donde q es un primo impar. Esto genera una red con un período de fila y columna a ^ q + b ^ q.

Ponga g (a, b) = (a ^ q + b ^ q) / (a ​​+ b).

Un par de vectores base de S también está formado por {(a, b), (g (a, b), -g (a, b)}. Podríamos referirnos a una red como “diagonal” porque tiene una diagonal elemento g (a, b) que es menos de la mitad del módulo o período de fila y columna a ^ q + b ^ q de S.

Considere la identidad de Fermat a ^ q + b ^ q = c ^ q donde a, byc son por pares relativamente primos. Por lo tanto, podemos escribir s-lattice S como S (r, c ^ q).

Un lema bien conocido dice que mcd (a + b, g (a, b)) = 1 o q

Caso (1) mcd (a + b, g (a, b)) = 1

Por lo tanto, podemos escribir c = c_1c_2 y c ^ q = c_1 ^ qc_2 ^ q donde a + b = c_1 ^ q y g (a, b) = c_2 ^ q donde gcd (c_1, c_2) = 1.

Caso (2) mcd (a + b, g (a, b)) = q

Aquí tenemos c ^ q = q ^ (iq) c_1 ^ qc_2 ^ q para algunos i> 0.

S se define como una sub-red de otra red-s S_1 si cada coordenada de S es también una coordenada de S_1.

Demuestre que S es una sub-retícula de s-retícula S_1 (r_1, c) donde r_1 == r (mod c). Muestre que existe una coordenada (a_1, b_1) en S_1 tal que:

(1) Si mcd (a + b, g (a, b)) = 1, entonces a_1 ^ q + b_1 ^ q = c, y

(2) si mcd (a + b, g (a, b) = q entonces a_1 ^ q + b_1 ^ q = cq.

Muestre que S_1 contiene coordenadas (c_2, -c_2) y que {(a_1, b_1), (c_2, -c_2)} es un par de vectores base de S_1.

Una vez que haya llegado tan lejos, debería poder completar la prueba. Esto implicará expresar la coordenada (a, b) en términos de (a_1, b_1) y (c_2, -c_2) etc. para obtener las contradicciones requeridas.

El último teorema de Fermat ha entrado en un estado legendario (gracias en parte a Star Trek: The Next Generation Episode). La cuestión de la cultura pop que ha surgido a lo largo de los años, y de la que yo mismo fui víctima, es la suposición de que Fermat estaba en lo cierto al afirmar que en realidad tenía una prueba de la conjetura. Dado el tiempo y la energía de algunas mentes increíbles que se han dedicado a esto, el escenario más probable es que Fermat se equivocó en lo que pensó que tenía. Es posible que haya anotado una nota, y luego, en algún momento, tal vez haber trabajado un poco más su intento de prueba, tal vez en un destello de conocimiento tan instantáneo como el que lo llevó a garabatear su nota en primer lugar, se dio cuenta de que no era No está demostrando la forma en que pensó que lo haría. Ese tipo de cosas sucede todo el tiempo. Dado que era solo un garabato en el margen de un libro en lugar de un artículo publicado (que necesariamente habría tenido alguna forma de prueba), no es como si tuviera que publicar una retractación para decirle al mundo que algo había anotado en un libro privado y nadie lo había visto nunca, y, probablemente asumió que nadie lo vería nunca, era poco más que un pedo cerebral.

Que el teorema sea en última instancia correcto no significa que el propio Fermat tuviera una prueba de ello.

Bueno, el lunes, cierto estudiante prospectivo excepcionalmente talentoso en mi universidad (2 veces ganador de la Olimpiada de Matemáticas y ya sabe cómo usar LaTex) me envió por correo electrónico una prueba elemental propuesta de FLT. También ha enviado su artículo a una revista formal y a varios expertos líderes en teoría de números para su revisión por pares.

Como era de esperar, inicialmente era extremadamente escéptico, pero para mi sorpresa eventual, su argumento parece funcionar. Aquellos que también quieran arbitrar su documento pueden comentar amablemente con sus direcciones de correo electrónico para que pueda reenviar el documento. ¿O puedo publicarlo aquí? Si es así, ¿cómo puedo hacerlo desde que el documento se escribió en LaTex?

Todas las respuestas escritas hasta ahora son las mejores. Supongo que cuando los matemáticos comienzan a escribir una prueba, hacen todo lo posible para mantener su enfoque simple. La pregunta es qué exige el problema. Lo mismo ocurre con el último teorema de Fermat. Su definición es tan simple que incluso un estudiante de secundaria puede entender. Pero para demostrar que tomó alrededor de 350 años. Estoy de acuerdo en que una prueba primaria es demasiado difícil actualmente con los recursos y resultados disponibles. Todo lo que podemos hacer, como señaló Senia Sheydvasser, es esperar que en el futuro podamos desarrollar un campo que nos pueda dar soluciones más simples a los problemas que ahora son un poco complicados. Pero ciertamente es imposible que suceda ahora. Actualmente esperar una prueba elemental en FLT es como intentar lo mejor para Square The Circle.

Después de leer varias de las respuestas aquí y votar algunas de ellas, aquí está mi opinión sobre el tema.

Mi opinión es que la prueba que Fermat tenía en mente era la misma prueba producida por Gabriel Lamé (pronunciado ‘lah-meh’) en el siglo XIX. Lamé había anunciado que probó la Conjetura de Fermat, pero se descubrió que su prueba tenía fallas. Aún así, su prueba podría salvarse para ser utilizada para probar un caso especial de la conjetura (para n = 7). Lame también había producido una prueba para n = 5 antes, y una prueba para n = 3 generalmente se acredita a Euler.

Por cierto, la Conjetura de Fermat se puede probar ‘solo’ considerando los casos en que la potencia es 4 y cuando la potencia es un primo impar. Sin embargo, la palabra ‘solo’ debe tomarse en el contexto adecuado. Fermat mismo demostró el caso n = 4.

Entonces, mi opinión es que lo que Fermat tenía en mente era la prueba defectuosa de Lamé, y esta es la razón por la cual nunca se descubrirá una simple prueba del Último Teorema de Fermat.

Estoy muy tentado, y he sucumbido, para darte el tipo de respuesta que mi maestro de ciencias solía dar si quería que hiciéramos un trabajo fuera de curso en nuestro propio tiempo.

“2 es el único número primo par”

Dado que, en la ecuación a ^ n + b ^ n = c ^ n, es interesante demostrar que no es cierto cuando n es un número primo mayor que 2, la respuesta es relativamente simple para n = 3,5,7. Después de eso, los números se vuelven demasiado grandes para manipularlos fácilmente.

En resumen, es la solución general, que es la difícil.

No.

Los matemáticos pasaron cientos de años buscando CUALQUIER prueba.

La primera prueba que en realidad no resultó contener un error fue de cientos de páginas e implicó la invención de algunas técnicas nuevas.

La idea de que de alguna manera podría haber una prueba “elemental” que se haya pasado por alto es una especie de ilusión.

En primer lugar, “complicado”: todas las pruebas se pueden dividir en partes que consisten en reglas de un sistema de inferencia y axiomas del formalismo particular en el que se establece la proposición a probar … estos precios son elementales por definición …

Sí, algunas pruebas pueden tener múltiples piezas de este tipo … o podrían ser largas … como sospecho que son de Wiles … así que …
En segundo lugar … ‘largo’
Ahora supongamos que tuviera que considerar un sistema formal equivalente donde uno de los axiomas es FLT en sí mismo … lo que ya está probado … y matemáticamente no hace la diferencia. La razón por la que elegimos un conjunto de axiomas particular para decir PA es porque ese conjunto de axiomas es más intuitivo … Tanto es así que puede aceptarse sin una prueba (y puede usarse para probar otros teoremas) para que tenga en cuenta la longitud de La prueba de Wiles es solo en relación con el conjunto de axiomas elegido.