Una de las formas ( falaces ) utilizadas para probar [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas] es utilizar la serie Taylor de [matemáticas] ln (2) [/ matemáticas]. He respondido una pregunta similar a la respuesta de Stien A Seeker a ¿De cuántas maneras puedes “probar” 1 = 2? Estoy reproduciendo el texto completo ( textualmente ) aquí por conveniencia.
La prueba falsaz :
Comenzamos con la serie Taylor del logaritmo natural :
- ¿Cómo podemos usar las matemáticas en nuestra vida cotidiana? Aplicación de matemáticas como ecuación diferencial / integración indefinida y análisis real.
- Cómo demostrar que si [math] \ sqrt a + \ sqrt b [/ math] es una raíz de [math] P (x) [/ math] y [math] P (x) [/ math] tiene coeficientes racionales, entonces [math] \ sqrt a- \ sqrt b, \ sqrt b- \ sqrt a, - \ sqrt a- \ sqrt b [/ math] también son raíces de [math] P (x) [/ math]
- ¿Cómo puede un número ser normal en una base y no ser normal en todas las bases?
- ¿Qué es [matemáticas] 0 ^ i [/ matemáticas]?
- ¿Por qué hay "preguntas de troll de matemáticas" en Quora? (2 + 2 = 5) ¿Qué están tratando de lograr los distribuidores?
[matemáticas] ln (1 + x) \; = \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} x ^ n \; = \; x – \ displaystyle \ frac {x ^ 2} {2} + \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} – \ displaystyle \ frac {x ^ 4} {4} + \ displaystyle \ frac {x ^ 5} {5} -…. [/ Matemáticas]
donde [matemáticas] -1 <x \ leq 1 [/ matemáticas]
Poniendo [matemáticas] x \; = \; 1 [/ math] conducirá al siguiente resultado:
[matemáticas] ln (2) \; = \; 1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {5} -…. [/ matemáticas]
Ahora reorganice los términos individuales de la serie Taylor , de modo que tengamos la serie de la forma:
[matemáticas] ln (2) \; = \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Bigg [\ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {2n-1} – \ displaystyle \ frac {1} {2 (2n-1)} \ Bigg ) – \ displaystyle \ frac {1} {4n} \ Bigg] [/ math]
[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ Bigg (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1 } {6} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {8} + \ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {5} – \ displaystyle \ frac {1} {10} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {12} + … [/ math]
[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {6} – \ displaystyle \ frac {1} {8} + \ displaystyle \ frac {1 } {10} – \ displaystyle \ frac {1} {12} +…. [/ Math]
[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} \ Bigg (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {5} -…. \ Bigg) [/ math]
[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} \ ln (2) [/ math]
[matemáticas] \ implica \; 1 \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} [/ math]
[matemáticas] \ implica \; 1 \; = \; 2 \ qquad \ qquad QED [/ matemáticas]
La falacia :
La falacia radica en el manejo de la serie infinita, específicamente el paso en el que hemos reorganizado los términos de la serie . La expansión en serie de [math] ln (2) [/ math] es un ejemplo clásico de serie condicionalmente convergente, es decir, “ la serie de sus términos positivos diverge a [math] + \ infty [/ math] y la serie de sus términos negativos diverge a [matemáticas] – \ infty [/ matemáticas] “. [1] Ahora, el Teorema de la Serie Riemann, también conocido como el Teorema del Reordenamiento de Riemann, establece que ” mediante un reordenamiento adecuado de los términos, se puede hacer una serie condicionalmente convergente para converger a cualquier valor deseado, o para divergir “. [2] presentada una prueba falaz popular, los reordenamientos se realizaron para lograr que la serie convergiera en el valor deseado de [math] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ ln (2) [/ math].
[1] Wolfram Mathworld – Convergencia Condicional
[2] Wolfram Mathworld – Teorema de la serie Riemann
Una vez que [math] 1 = 2 [/ math] se prueba, se puede extender fácilmente para mostrar la igualdad entre otros números naturales.
Además del truco más común que es la división por 0, hay varias otras formas dadas como respuestas allí.
