Sí, puedo. Lamento no poder darle la fórmula para la función biyectiva, ya que me tomaría demasiado tiempo deducirla por completo (o encontrar una referencia relevante). Pero aquí hay una forma gráfica de construir esta biyección.
Lo que usted hace es “pasar” las biyecciones de ambos conjuntos en el conjunto N de números naturales, es decir, usted “cuenta” elementos en ambos conjuntos (muestra que son infinitos pero numerables). Ambos conjuntos se “cuentan” por el conocido método diagonal:
El caso de NxN: escriba este conjunto como una matriz infinita, la primera fila contiene elementos de la forma (1, n), segunda fila (2, n), y así sucesivamente. Luego comience a moverse desde (1,1): uno a la derecha a (1,2), luego hacia abajo a lo largo del antidiagonal desde (1,2) a (2,1), luego uno hacia abajo a (3,1), luego a lo largo del próximo antidiagonal, y así sucesivamente … De esta manera está contando su conjunto, la posición z en la que cumple con la entrada (x, y) es el número correspondiente.
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El caso de Q: escriba el conjunto como una matriz infinita y vuelva a aplicar el método diagonal. Esta vez la primera fila contiene racionales con el denominador 1 (los enteros), ordenados de la siguiente manera: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,… ..
La segunda fila son racionales con denominador 2, pero solo aquellos en términos más bajos para evitar repeticiones: 1/2, -1/2, 3/2, -3/2, 5/2, -5 / 2, … y así sucesivamente: entonces la enésima fila contiene racionales (en términos más bajos) con el denominador n.
Así, la biyección, después de tener estas dos cajas infinitas, consiste simplemente en enviar el elemento en la posición (i, j) en una imagen al elemento en la posición (i, j) en la otra imagen.
El problema al escribir una fórmula para esto es que al poner solo racionales en términos más bajos, no es inmediato encontrar una fórmula para la entrada (i, j) en el segundo cuadro.