Aleph-null ([math] \ aleph_0 [/ math]) es el nombre dado a la cardinalidad de los números naturales; es decir, el tamaño del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}, según la convención de que dos conjuntos tienen el mismo tamaño si son iguales hasta el cambio de nombre de sus elementos.
Aleph-one ([math] \ aleph_1 [/ math]) es un poco más complicado. Por lo general, se menciona en contextos en los que se supone que cualquier conjunto puede estar bien ordenado (en el sentido de que a sus elementos se les puede dar un orden lineal sin cadenas descendentes infinitas). En tales contextos, se puede establecer, entre otras cosas, que hay una cardinalidad más pequeña estrictamente más grande que aleph-null (en el sentido de que los conjuntos de dicha cardinalidad contienen subconjuntos de tamaño aleph-null, pero no son ellos mismos de tamaño aleph- nulo). Esta cardinalidad se conoce como aleph-one. De hecho, aleph-one se puede considerar específicamente como la cardinalidad del conjunto de ordenamientos de los números naturales (con elementos de este conjunto considerados iguales si son isomórficos de orden), y esta definición a veces se utiliza incluso en contextos donde no se puede establecer que aleph-one sea la cardinalidad más pequeña estrictamente más grande que aleph-null.
El mismo procedimiento se puede aplicar de forma recursiva para producir aleph-two, aleph-three, etc., y así sucesivamente incluso en el transfinito.
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Paralelamente a la serie aleph, también está la serie beth ([math] \ beth [/ math]). Estos comienzan de la misma manera, con beth-cero nuevamente siendo la cardinalidad de los números naturales; sin embargo, beth-one es la cardinalidad del conjunto de subconjuntos de números naturales, en lugar del conjunto de ordenamientos de los números naturales, y así sucesivamente para beth-two, beth-three, etc. La suposición de que beth -uno es igual a aleph-one se conoce como la hipótesis del continuo, y el supuesto de que las series beth y aleph coinciden más generalmente se conoce como la hipótesis del continuo generalizado.
De hecho, los sistemas formales estándar de la teoría de conjuntos no pueden (consistentemente) probar ni refutar la hipótesis del continuo (o la hipótesis del continuo generalizado, o, realmente, casi nada en este sentido), pero por supuesto siempre se pueden considerar otros sistemas formales de conjunto teoría con axiomas adicionales o diferentes, dependiendo de lo que uno esté interesado en modelar.
