¿Qué es la topología?

Voy a intentar una descripción intuitiva de la topología, avanzando a través de varios medios para hacerlo:

La topología es el estudio de conexiones ininterrumpidas .

Probablemente haya escuchado que la topología se trata de deformación sin rasgar, pero ¿qué significa eso?

Imagine un grupo de nodos, conectados de alguna manera. En total, hacen una malla. Llamamos a esto una topología discreta.

Con el concepto de una malla en mente, la topología se trata de estudiar todas las propiedades de esa malla a medida que se deforma, sin romper ninguna de las conexiones que existen.

Como una variedad continua, se puede imaginar que la malla no tiene espacios entre las conexiones infinitas. Si hay huecos, entonces esos huecos se conservan.

Los espacios topológicos están formados por piezas que se pueden “pegar”.

Los siguientes conjuntos pueden demostrar (de Wikipedia):

• Notarás que a la parte inferior izquierda le falta un elemento que sea la unión de 2 y 3, por lo que no podemos unir 2 y 3 para formar el conjunto grande.
• La esquina inferior derecha no tiene una noción de 2 sin el elemento 1 o 3.
• En el centro-izquierda, podemos pegar 1 junto con 2 para obtener otro conjunto. Entonces podemos pegar eso junto con 3 para obtener un tercer set.
• Del mismo modo, en el centro-derecha, podemos pegar 2 con 1, o podríamos pegar 2 con 3, luego pegar la pieza restante para obtener el conjunto grande.

Hay otros espacios topológicos:

• Los espacios topológicos naturalmente tienen una noción de “cercanía” relacionada con la conexión.
• Las topologías métricas tienen una noción de distancia además de cercanía
• Si la topología tiene alguna noción de un valor absoluto, entonces es un “espacio vectorial normado”

Otros se pueden ver aquí:

Espacio topológico

Pero, tal vez eso no sea suficiente para que entiendas por qué los estudiamos.

Digamos que estamos en una malla. Sabemos que podemos caminar desde cualquier punto A, y llegaremos a una ubicación B. La misma entrada siempre nos dará la misma salida. Llamamos a esto un camino en topología (de Wikipedia):

Observe en la segunda imagen, que incluso si cambio mi caminar, sigo yendo del punto A al punto B.

Bueno, esto es algo así como la definición de una función. Una función podría considerarse como algo que siempre me da el mismo resultado individual para las mismas entradas.

Por lo tanto, la topología es excelente para estudiar espacios de funciones (y se conecta rápidamente a la teoría de categorías debido a muchas de las mismas propiedades).

Los datos de múltiples sensores tienen muchas conexiones cuando sabes cómo se separan los sensores en el mundo físico. De hecho, puede determinar si uno va mal mirando los datos como entradas y salidas a un área conservada (como electricidad a través de un cable o agua a través de una tubería).

La topología (en el nivel introductorio) formaliza la idea de convergencia . En matemáticas uno encuentra muchas nociones diferentes de lo que significa que una secuencia de objetos (como funciones, gráficos, conjuntos o variables aleatorias) converjan. Al axiomatizar los conjuntos abiertos, la topología proporciona un marco general para describir todas estas nociones de convergencia y propiedades de prueba que todas comparten.

Max Shvets ofrece una lista de los axiomas que definen una topología. Sin embargo, no nos dicen exactamente qué es una topología.

En lenguaje normal, cuando decimos la palabra “espacio”, normalmente hablamos de la región que nos rodea. Sin embargo, como matemáticos, nos gusta llevar las cosas un paso más allá y generalizarlas. Un espacio topológico es un conjunto equipado con una topología. La topología es una colección de subconjuntos del conjunto y, por lo tanto, es un subconjunto del conjunto de potencia. Esto se denota como [math] (X, \ Tau) [/ math], donde [math] X [/ math] es el conjunto y [math] \ Tau [/ math] es la topología.

Cada espacio métrico, es decir, cada conjunto equipado con una función de distancia, también tiene una topología inducida por ese métrico. Por lo tanto, cada espacio métrico es un espacio topológico. Sin embargo, los espacios topológicos generales nos permiten jugar con nociones de continuidad y convergencia. Podemos generalizar las funciones, así como configurar las cosas para que sean mucho más fáciles de probar en un espacio métrico al tratarlas como espacios topológicos. Uno de mis teoremas favoritos es el Teorema de metrización de Urysohn: si existe una función continua desde un espacio topológico general a una métrica cuya inversa también es continua, entonces podemos encontrar una métrica en el espacio topológico general que crea un espacio idéntico.

En su uso original, la topología se refiere a un mapa del terreno que muestra colinas, valles y relieve general de un área.

Un mapa topológico:

Cuando se usa para otras cosas, puede referirse a la compilación integral de los altibajos de algo.

básicamente aplica geometría a las dimensiones y compara formas. por ejemplo, has hecho esto cuando imaginas un círculo 2d. técnicamente no existe un círculo 2d en un universo 3d, pero podemos aplicarle matemáticas. matemáticamente, también podría mirar una esfera 4d, pero debido a que estamos aumentando las dimensiones más allá de lo que normalmente experimentamos (3), es difícil de imaginar, pero fácil de describir matemáticamente.

Sugiero leer flatland. además, el portal del juego es útil, también, pacman. mira qué es “pegar” y qué es un toro.

En matemáticas, la topología tiene como objetivo responder a esta pregunta: ¿Qué propiedades de un objeto geométrico dado (u objeto de una clase dada) se conservan bajo transformaciones continuas? Esto, por supuesto, requiere definir qué es “continuo”.

La topología en [math] X [/ math] es una colección [math] \ mathcal {A} [/ math] de subconjuntos de [math] X [/ math] que satisface las siguientes propiedades:

1. Cualquier unión de elementos de [math] \ mathcal {A} [/ math] se encuentra en [math] \ mathcal {A} [/ math]
2. Cada intersección finita de elementos de [math] \ mathcal {A} [/ math] se encuentra en [math] A [/ math]
3. Conjunto vacío y [matemática] X [/ matemática] se encuentran en [matemática] \ matemática {A} [/ matemática]

En matemáticas, la topología es el estudio de formas. Las topologías clasifican diferentes formas según se puedan moldear entre sí. Por ejemplo, una forma de rosquilla se clasifica en un conjunto abierto como un borde, un agujero, igual que una tira de Möbius. Sin embargo, debido al agujero, un círculo no cabe en este conjunto.

¿Cuál es la diferencia entre una pelota de goma y una rosquilla de goma? Imagine que la bola y la rosquilla están hechas de un material elástico que es infinitamente delgado, infinitamente elástico, pero imposible de romper, ¿puede estirar y transformar un objeto para convertirlo en el otro? De alguna manera tienes la sensación de que no puedes, y eso es correcto, ¡es imposible! La topología es el área matemática que le permite formular el tipo de declaraciones como las anteriores y luego probarlas rigurosamente.

Los espacios que se estudian en Topología se denominan espacios topológicos , y se puede imaginar que todos están hechos de goma. Básicamente, no nos importa la geometría local de estos espacios, solo nos preocupamos por sus propiedades globales y cómo distinguir un espacio de otros. Eso es más o menos lo que es la topología como área matemática.

Hay otro uso para la palabra: una topología en un conjunto, esto es más o menos la noción de cercanía entre los elementos de su conjunto. Un espacio topológico es simplemente un conjunto junto con una topología en él. Sin esta noción de cercanía (topología), la bola y la rosquilla son completamente idénticas como conjuntos de puntos, porque tienen la misma cardinalidad. Con la noción de cercanía, puede definir lo que se llaman mapas continuos, que básicamente deben mapear puntos cercanos en un espacio para cerrar puntos en el otro espacio. Los mapas continuos son básicamente el único tipo de mapas permitido en Topología.

(eso es todo lo que tengo por ahora, comenta si tienes preguntas y trataré de decir más).

Cuando alguien se refiere a la topología, entiendo lo que significan, aunque no entiendo completamente la topología. Sé que no podemos ‘cortar’ o ‘pegar’ ninguna forma, y ​​solo podemos ‘aplastar’. Esto tiene mucho sentido para mi cerebro.

Topología en Matemáticas significa:

El estudio de las propiedades geométricas y las relaciones espaciales no se ven afectadas por el cambio continuo de forma o tamaño de las figuras.