¿Cómo se comparan los tamaños de dos conjuntos diferentes? Tú los cuentas. Si cuenta el mismo número de objetos en cada conjunto, entonces son del mismo tamaño. Ahora cuéntalas al mismo tiempo. Una manzana, una naranja, dos manzanas, dos naranjas, etc. Si su conteo termina con n manzanas, n naranjas , entonces tiene la misma cantidad de manzanas que las naranjas. Además, ha establecido una correspondencia uno a uno entre las manzanas y las naranjas; por cada manzana, pudo elegir la naranja correspondiente.
Cuando llegas al infinito, aquí es donde las cosas comienzan a volverse contra-intuitivas. Después de estudiar matemáticas (o física moderna) por un tiempo, te acostumbras a lidiar con conceptos abstractos, pero dejar de lado la necesidad de comprender todo ingenuamente es potencialmente la parte más difícil de sentirte cómodo con estos conceptos. No puedes contar hasta el infinito y si quieres entender la cardinalidad, tienes que aceptar eso.
Una vez que haya aceptado que no puede contar hasta el infinito, considere la correspondencia uno a uno que se estableció al determinar que su conjunto de manzanas y su conjunto de naranjas eran del mismo tamaño. Como no puede contar hasta infinito, la idea de una correspondencia uno a uno es probablemente una mejor manera de definir dos conjuntos como del mismo tamaño que contar sus elementos y comparar estos números. Una vez establecido esto, puede mostrar que los enteros y los números naturales tienen el mismo tamaño (asigne los enteros positivos a números pares y los enteros negativos a números impares). También puede asignar los números racionales a los números naturales, aunque encontrar un mapa explícito es un poco más complicado. La característica distintiva de todos estos conjuntos es que puedes contar los elementos en secuencia (aunque nunca llegarás al final), por eso se los llama contables, algo que no puedes hacer con números reales. Puede contar los dígitos de cualquier número real dado, por lo que un número real es como un conjunto de números naturales (y el conjunto de todos los números reales es, por lo tanto, isomorfo al conjunto de potencia de los números naturales).
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Supongo que todo esto fue solo un preámbulo para el argumento de diagonalización de Cantor o algo similar (me gusta la explicación de Wikipedia). La moraleja de la historia es que no puedes asignar los números reales a los números naturales porque hay demasiados (aunque haya números naturales infinitos) y puedes probar esto matemáticamente asumiendo que tal mapa existe y luego llegando a una contradicción. Realmente no puedo pensar en una explicación más satisfactoria que la que dice la prueba (cualquier analogía intuitiva que se me ocurra podría aplicarse también a los números racionales, dejándolos inválidos), aunque esto es algo que usted tiene para acostumbrarse si quieres estudiar matemáticas abstractas. Por insatisfactorio que pueda ser este último párrafo, espero que el preámbulo sea al menos satisfactorio e informativo.
