¿Cómo evalúa [math] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sin (x ^ 2) \, dx [/ math]?

[matemáticas] \ int \ límites _ {- \ infty} ^ \ infty \ sin (x ^ 2) dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

En primer lugar, como [math] \ sin (x ^ 2) [/ math] es una función par, la integral es solo el doble del valor de la integral desde [math] 0 [/ math] a [math] \ infty [ /matemáticas]. Para evaluar esta integral, utilizaremos la integración del contorno.

Considere [matemáticas] f (z) = e ^ {iz ^ 2} [/ matemáticas]. Cuando [math] z [/ math] es real, [math] \ sin (z ^ 2) [/ math] es solo la parte imaginaria de esta función. Por lo tanto, la integral de [math] \ sin (x ^ 2) [/ math] de [math] 0 [/ math] a [math] \ infty [/ math] es igual a la parte imaginaria de la integral de [math] f (z) [/ math] sobre la línea real positiva. Llame a esta última integral [matemáticas] I [/ matemáticas]. Además, tenga en cuenta que [math] f (z) [/ math] es analítico en todas partes y, por lo tanto, no tiene polos.

Considere un contorno que contenga tres partes:

• [matemática] C_1 [/ matemática] es la línea recta desde el origen a [matemática] R [/ matemática]
• [matemática] C_2 [/ matemática] es el arco circular de radio [matemática] R [/ matemática] centrada en el origen y que tiene puntos finales [matemática] R [/ matemática] y [matemática] R e ^ \ frac {i \ pi } {4} [/ matemáticas]
• [matemática] C_3 [/ matemática] es la línea recta desde [matemática] R e ^ \ frac {i \ pi} {4} [/ matemática] hasta el origen

Deje que las integrales de [matemáticas] f (z) [/ matemáticas] sobre [matemáticas] C_1 [/ matemáticas], [matemáticas] C_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] C_3 [/ matemáticas] sean [matemáticas] I_1 [/ matemáticas ], [matemáticas] I_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] I_3 [/ matemáticas] respectivamente. Tenga en cuenta que como [math] R \ to \ infty [/ math], [math] I_1 \ to I [/ math]. Además, podemos evaluar [matemáticas] I_3 [/ matemáticas] parametrizando el contorno [matemáticas] C_3 [/ matemáticas] como [matemáticas] z = re ^ \ frac {i \ pi} {4} [/ matemáticas] para [matemáticas ] 0 \ leq r \ leq R [/ matemáticas]. Luego

[matemáticas] I_3 = \ int \ limits_R ^ 0 \ exp \ left [i (e ^ \ frac {i \ pi} {4} r) ^ 2 \ right] e ^ \ frac {i \ pi} {4} dr [/matemáticas]
[matemáticas] = e ^ \ frac {i \ pi} {4} \ int \ limits_R ^ 0 e ^ {- r ^ 2} dr [/ matemáticas]

Como [math] R \ to \ infty [/ math], [math] I_3 \ to -e ^ \ frac {i \ pi} {4} \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ math] ya que la integral se reduce a la integral gaussiana. Como [math] f (z) [/ math] es analítico, su integral a lo largo de todo el contorno [math] C_1 \ cup C_2 \ cup C_3 [/ math] es cero.

Todo lo que nos queda es [matemáticas] I_2 [/ matemáticas]. Mostraremos eso como [math] R \ to \ infty [/ math], [math] I_2 \ to 0 [/ math]. Podemos parametrizar [matemática] C_2 [/ matemática] como [matemática] z = R e ^ {i \ theta} [/ matemática] para [matemática] 0 \ leq \ theta \ leq \ frac {\ pi} {4} [ /matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] I_2 = \ int \ limits_0 ^ \ frac {\ pi} {4} iR \ exp (es decir, ^ {2i \ theta} R ^ 2) e ^ {i \ theta} d \ theta [/ math]
[matemática] = \ int \ limits_0 ^ \ frac {\ pi} {4} iR e ^ {i \ cos (2 \ theta) R ^ 2} e ^ {- \ sin (2 \ theta) R ^ 2} e ^ {i \ theta} d \ theta [/ math]

Ahora, tenga en cuenta que la magnitud del integrando es [matemática] R e ^ {- \ sin (2 \ theta) R ^ 2} [/ matemática]. Esto tiende a cero como [math] R \ to \ infty [/ math] para [math] 0 <\ theta <\ frac {\ pi} {4} [/ math], nuestro rango de integración. Como el rango no depende de [math] R [/ math] y el integrando tiende a cero, la integral también es cero.

Combinando, obtenemos que [matemáticas] I_1 = e ^ \ frac {i \ pi} {4}) \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]. La parte imaginaria de esto es solo [matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ pi} {8}} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty \ sin (x ^ 2) dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} [/ math].

La integral requerida es
[matemáticas] I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ sin (x ^ 2) \ mathrm {d} x = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (x ^ 2) \ mathrm {d } x [/ matemáticas]
Dejando que [math] u = x ^ 2 \ Rightarrow 2 \ mathrm {d} x = \ frac {\ mathrm {d} u} {\ sqrt {u}} [/ math] obtenemos
[matemáticas] I = \ int_o ^ {\ infty} \ frac {\ sin u} {\ sqrt {u}} \ mathrm {d} u [/ math]
Ahora, considera la identidad
[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {u}} = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- su}} {\ sqrt { s}} \ mathrm {d} s [/ math]
que, se deduce de la transformada de Laplace de [math] 1 / \ sqrt {u} [/ math]
Sustituyendo esto en los rendimientos integrales requeridos
[matemáticas] I = \ int_0 ^ {\ infty} \ sen u \ left (\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- su}} {\ sqrt {s}} \ mathrm {d} s \ right) \ mathrm {d} u [/ math]
Cambiando el orden de integración (teorema de Fubini) obtenemos
[matemáticas] I = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {1} {\ sqrt {s}} \ left (\ int_0 ^ {\ infty} \ sin u ~ e ^ {- su} \ mathrm {d} u \ right) \ mathrm {d} s [/ math]
La integral interna es estándar [Ref. esta página]
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin u ~ e ^ {- su} \ mathrm {d} u = \ frac {1} {1 + s ^ 2} [/ math]
Así,
[matemáticas] I = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} s} {\ sqrt {s} (1 + s ^ 2)} = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ left (\ frac {\ pi} {\ sqrt {2}} \ right) = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} [/ math] .
La integral en el último paso se puede evaluar de muchas maneras. Una forma es sustituir [math] u = \ sqrt {s} [/ math] obteniendo
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} s} {\ sqrt {s} (1 + s ^ 2)} [/ math]
[math] = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} u} {1 + u ^ 4} [/ math]
[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} u} {1 + iu ^ 2} + \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} u} {1-iu ^ 2} = 2 \ Re \ big (\ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} u} {1 + iu ^ 2} \ big) = \ Re \ big (\ frac {\ pi} { \ sqrt {i}} \ big) = \ frac {\ pi} {\ sqrt {2}} [/ math]

¡Salud!

Admito que este método es bastante largo, y es seguro que es un enfoque inusual y espero que lo encuentre útil. Creo que vale la pena saberlo.

Primero comencemos con la Integral Doble:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bx) y ^ {p-1} e ^ {- xy} dx dy [/ math]

Podemos escribir esto (Llamemos a esto (1)):

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bx) \ left (\ int_0 ^ {\ infty} y ^ {p-1} e ^ {- xy} dy \ right) dx [/ math]

[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ infty} y ^ {p-1} \ left (\ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bx) e ^ {- xy} dx \ right) dy (1) [/ math ]

Concentrémonos en el lado derecho de este (1) por ahora. Para la integral x interna tenemos:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bx) e ^ {- xy} dx = \ frac {b ^ 2} {b ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

Un resultado que debería poder obtener fácilmente integrando por partes.

Entonces nuestro lado derecho de (1) se convierte en:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} y ^ {p-1} \ frac {b} {b ^ 2 + y ^ 2} dy [/ matemáticas]

Que se puede simplificar para:

[matemáticas] \ frac {1} {b} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {y ^ {p-1}} {1+ \ left (\ frac {y} {b} \ right) ^ 2} dy [/matemáticas]

Sustituyendo [matemáticas] t = \ frac {y} {b} [/ matemáticas] da:

[matemáticas] b ^ {p-1} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {p-1}} {1 + t ^ 2} dt [/ matemáticas]

Por integración de contorno, tenemos los bien conocidos:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {m}} {1 + x ^ n} dx = \ frac {\ frac {\ pi} {n}} {\ sin \ left ((m + n) \ frac {\ pi} {n} \ right)} [/ math]

Aplicando esto a nuestro lado derecho (1):

[matemáticas] b ^ {p-1} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {p-1}} {1 + t ^ 2} dt [/ matemáticas]

Tenemos:

[matemáticas] \ frac {b ^ {p-1} \ pi} {2 \ sin \ left (\ frac {p \ pi} {2} \ right)} [/ math]

Ahora pasemos nuestra atención al lado izquierdo de (1), para la integral interna:
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} y ^ {p-1} e ^ {- xy} dy [/ matemáticas]

hacer la sustitución [matemáticas] u = xy [/ matemáticas] Obtenemos:

[matemáticas] \ frac {1} {x ^ p} \ int_0 ^ {\ infty} u ^ {p-1} e ^ {- u} du = \ frac {1} {x ^ p} \ Gamma (p) [/matemáticas]

Y ahora nuestro lado izquierdo se convierte en:

[matemáticas] \ Gamma (p) \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sin (bx)} {x ^ p} dx [/ matemáticas]

Ahora es el momento de conectar nuestros resultados de los 2 lados de (1) en (1), lo que da (donde [matemáticas] 0

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sin (bx)} {x ^ p} dx = \ frac {b ^ {p-1} \ pi} {2 \ Gamma (p) \ sin (\ frac {p \ pi} {2})} [/ math]

Ahora sabiendo este resultado útil. Hagamos algunas sustituciones a esto.

Sea [math] p = 1- \ frac {1} {k} [/ math] y [math] x = h ^ k [/ math]

No estaría haciendo la simplificación trabajando (ya que es fácil dejarte eso, ya que se me acaba el tiempo), esto cambia a:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bh ^ k) dh = \ frac {\ pi} {2kb ^ {\ frac {1} {k}} \ Gamma \ left (1- \ frac {1} {k} \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} – \ frac {\ pi} {2k} \ right)} [/ math]

De la fórmula de reflexión para la función Gamma:

[matemáticas] \ Gamma \ left (\ frac {1} {k} \ right) \ Gamma \ left (1- \ frac {1} {k} \ right) = \ frac {\ pi} {\ sin \ left ( \ frac {\ pi} {k} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ Gamma \ left (1- \ frac {1} {k} \ right) = \ frac {\ pi} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {k} \ right) \ sin \ left ( \ frac {\ pi} {k} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bh ^ k) dh = \ frac {\ Gamma (1 / k) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {k} \ right)} {2kb ^ {\ frac {1} {k}} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} – \ frac {\ pi} {2k} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} – \ frac {\ pi} {2k} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2k} \ right) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {k} \ right) = 2 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2k} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2k} \ right) [/ math]

Llegamos a:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (bh ^ k) dh = \ frac {\ Gamma (1 / k) \ sin (\ frac {\ pi} {2k})} {kb ^ {\ frac { 1} {k}}} [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] b> 0, k> 1 [/ matemáticas]

En su pregunta, [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas]

Entonces tenemos:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (h ^ 2) dh = \ sqrt {\ frac {\ pi} {8}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ sin (h ^ 2) dh = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (h ^ 2) dh [/ math]

[matemáticas] 2 \ sqrt {\ frac {\ pi} {8}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]