¿Qué debe saber todo físico sobre la geometría diferencial?

Un físico debe conocer al menos la geometría diferencial que Einstein utilizó para su Teoría de la relatividad general, es decir, paquetes de vectores, paquetes principales, conexiones afines y lineales, derivadas de Lie, derivadas covariantes, transporte paralelo, las diferentes formas de definir la curvatura, cómo las formas o métricas fundamentales pueden definir espacios, geometría riemaniana, geometría simpléctica, formas diferenciales.

La lista puede sonar lo suficientemente larga como para ser intimidante, pero en realidad no es tanto. Hay, como siempre, algunas muy buenas ediciones en rústica de Dover de textos clásicos de geometría diferencial. La notación que usan es algo anticuada, pero eso lo acerca más a lo que los textos de física realmente usan para la mecánica analítica y la relatividad general de todos modos.

De hecho, un libro de Dover sobre GTR desde un punto de vista geométrico tiene un gran resumen de la mayoría de la geometría diferencial que necesita en un apéndice: “Relativity and Geometry” de Roberto Toretti.

Ninguna.

Muchos campos de la física no requieren ninguna geometría diferencial en absoluto. Yo diría que conocer un poco de relatividad general (y el poco de geometría diferencial que requiere) es un buen antecedente para cualquier físico que se precie, pero eso es tan importante como la física básica de la materia condensada.

Depende de tu campo de investigación. Muchas personas experimentales probablemente no necesitan saber mucho más allá de lo que se enseña en un doctorado. Los teóricos de cuerdas necesitan álgebras de Lie, cálculo de vectores / tensor, curvatura, marcos de Frenet y otros temas; Los cursos avanzados de matemáticas son una buena idea en esta área. La gravedad se enfoca en la curvatura y las conexiones, y una probablemente sea suficiente con un curso básico en geometría diferencial.

El cálculo vectorial, como el gradiente, la divergencia y la rotación, son muy útiles para expresar fácilmente la mayoría de las fórmulas electromagnéticas y, una vez que lo entiendes completamente, puedes entender la teoría EM como un todo muy fácilmente.

Si te gusta la física y quieres profundizar, aprende. Si solo está buscando tomarlo como un curso paralelo, no necesita saberlo a fondo, ya que incluso yo lo sé, aún no he necesitado usarlo en mi carrera de física.

Creo que la geometría semi-riemanniana de Barret O’Neills con aplicaciones a la relatividad es un libro realmente bueno para usted.

No creo que sea necesario conocer ninguna geometría diferencial. Supongo que la relatividad general es una excepción.

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