El método consiste en medir la pérdida, que se relaciona instantáneamente con la parte compleja de la función de respuesta, luego usa la relación Kramers-Kronig para calcular la parte real dada la parte compleja.
Funciona debido a cómo podemos poner límites en la transformada de LaPlace, y se deriva del teorema del residuo de Cauchy (que es cómo puede realizar una transformada inversa de LaPlace dados solo los polos de una función de transferencia).
Explicar por qué funciona requiere derivación, lo que haré por ti ahora.
También hay un poco más allá de la derivación que es importante entender intuitivamente, pero se pierde en las matemáticas.
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Derivación
Si suponemos que el sistema es causal y pasivo, eso pone límites a las partes reales e imaginarias de la función de transferencia que obliga a todos los polos al dominio donde Re {s} <0, por lo que puede garantizar absolutamente que una integral de contorno a través de la línea Re {s} = 0 conectada alrededor del contorno | s | ^ 2 = ∞ contendrá todos los polos y se resolverá mediante residuos.
Nota: en la derivación, ω se usa en lugar de s, pero piense en ω como Im {s} + i Re {s}, básicamente solo gire el plano s 90 grados. De aquí en adelante haré todo en ω, solo recordando ese hecho.
Como no hay polos en el dominio Im {ω}> 0, el teorema del residuo establece que 
Sabemos ya que la función llega a una singularidad en at ‘= ω que si usamos una integral de principio en lugar de una estándar, la integral de principio será igual a i πχ (ω), entonces podemos usar una integral de principio y luego restar ese término Mueva el término al otro lado, y obtenemos 
Podemos reescribir χ (ω) como Re {χ (ω)} + Im {χ (ω)}, o χ1 (ω) + i χ2 (ω).
Como χ ( t ) (la versión del dominio del tiempo) debe ser real, eso obliga a χ ‘(ω) a ser una función par, y a χ’ ‘(ω) a ser una función impar, lo que nos permite usar simetría para recortar de la integración.
Separando la fórmula completa χ (ω) en partes reales y partes imaginarias, y equiparando las partes reales e imaginarias, luego multiplicando el numerador y el denominador por (ω ‘+ ω) para que las integrales sean más fáciles de manejar, esto deja nosotros con 
y dado que la segunda integral tiene una función totalmente extraña, sabemos que integrarla en todo el espacio será igual a cero, por lo que podemos descartar el término. Luego, nuevamente, dado que la primera integral será una función totalmente par (dado que una función impar multiplicada por otra función impar será par), podemos modificar la integral de 0 a ∞ y multiplicar por 2, dejándonos con 
El problema es que funciona porque los límites físicos significan que si se conoce la pérdida, puede estar absolutamente seguro del resto de la respuesta.
Prácticamente, ¿cómo funciona?
Fácil. Simplemente transmita a través de un rango completo de frecuencias para obtener la atenuación. La atenuación se convierte fácilmente en χ2 (ω). Aplica la fórmula y * poof * ahí está tu función de respuesta.
Aprendí esto en una clase de metamateriales, por lo que χ (ω) fue la permitividad eléctrica. Puede medir la permitividad barriendo la frecuencia de un láser a través de una banda muy amplia y midiendo solo la pérdida a través del material.
¿Qué se perdió en las matemáticas?
Un sentido de lo que significa intuitivamente. Resulta que la pérdida está altamente relacionada con la resonancia. Aquí hay algunas relaciones no exactamente cuantitativas que debe tener en cuenta al mirar algo que hacer con Kramers-Kronig. En realidad, no forman parte de la relación, sino que tienen que ver con la transformación de Fourier.
1) La pérdida a menudo se concentra alrededor de la resonancia. Puede estar seguro de dónde ve grandes pérdidas, también verá respuestas de gran magnitud cercanas en frecuencia.
2) Cuanto más estrecha sea el área de pérdida, más fuerte será la respuesta cerca de esa pérdida.
3) Cuanto mayor sea la magnitud de la pérdida, mayor será la frecuencia de la respuesta elevada cerca de esa pérdida.
