¿Cómo es posible que una cantidad escalar pueda tener una derivada vectorial?

La posición angular no es escalar. En dos dimensiones, solo necesita una coordenada para representar la posición angular, pero en tres dimensiones, necesita tres coordenadas. (Por lo general, los ángulos o cuaterniones de Euler se utilizan para este propósito).

Un escalar es una cantidad cuyo valor es independiente de cualquier sistema de coordenadas. La posición angular no es escalar, según esta definición. Para utilizar los ángulos de Euler, por ejemplo, para representar una posición angular, debe elegir la orientación de los ejes, con respecto a la cual se medirán los ángulos.

Su intuición, que la derivada del tiempo de un escalar debería ser otro escalar, es correcta. Pero, ¿cómo, entonces, surge la velocidad angular como un vector? ( Nit: la velocidad angular es en realidad un pseudovector , pero esta distinción no nos concierne aquí).

Los vectores en realidad se originan del paquete tangente de una variedad. En términos más simples, si tiene una ruta en una variedad parametrizada por tiempo, puede tomar la derivada del tiempo en cualquier punto de la variedad y obtener un vector tangente. La posición angular se encuentra en una variedad llamada [math] SO (3) [/ math] ( también conocido como el “grupo de rotación” en tres dimensiones), por lo que cuando tomamos la derivada de un camino de posiciones angulares parametrizadas en el tiempo, obtenemos angular velocidad. Tenga en cuenta que la posición angular no es escalar, como expliqué anteriormente. En general, diferenciar un escalar da un escalar, pero diferenciar la posición en un múltiple da un vector. Esto será mucho más claro si estudia la relatividad general, que hace un uso extensivo de la geometría diferencial.

En otros contextos distintos del que se le preguntó a su descripción (y supongo que obtendrá un montón de respuestas a este efecto), se llama el “gradiente”, que menciono principalmente en caso de que esta pregunta se fusione.

En este contexto (de velocidad angular versus ángulo), es bastante complicado si realmente quieres profundizar en las matemáticas: la derivada del tiempo te lleva del grupo de Lie SO (3) (que tiene una acción de grupo en el espacio real) para es el álgebra de mentira así (3), y ya puedo ver tus ojos vidriosos desde mucho lenguaje técnico matemático (o iluminando todas las cosas a google, en cuyo caso simplemente diré que no creo que pueda llevarlo del nivel de su pregunta al nivel verdadero de la respuesta sin al menos un capítulo completo de un libro de texto).

TL; DR: Angle no es un escalar (en los contextos que te preocupan).

Hablando vagamente por un momento, tanto el ángulo (para pequeños cambios angulares) como la velocidad angular son como vectores (más precisamente, ambos “pseudovectores” o “vectores axiales”, lo que significa que definimos su dirección por convención por la regla de la mano derecha) en este contexto . Si uno gira (para obtener un ángulo theta), entonces uno tiene un plano de rotación; como siempre en física, la dirección de este “vector de ángulo” es perpendicular al plano de rotación (con la magnitud, por supuesto, la magnitud del ángulo y qué dirección en la perpendicular elegida por la mano derecha rige de la misma manera que velocidad angular).

La razón por la que digo “para pequeños cambios angulares” es porque hay otro detalle técnico aquí, que es que estos ángulos no se suman como lo hacen los vectores, por lo que realmente no puede hacer eso (vea el comentario “bastante complicado” más arriba). Sin embargo, el ángulo es más que un simple escalar, porque hay que considerar el plano de rotación (diferentes planos de rotación dan ángulos diferentes, a pesar de la misma magnitud).

La velocidad angular es la derivada de theta con respecto al tiempo. Tanto it como theta aquí son funciones del tiempo. Sin embargo (como [math] \ theta [/ math]), la velocidad angular instantánea también es escalar *. es decir, eso NO es posible.

Probablemente te estés confundiendo con pensar en el movimiento angular en coordenadas cartesianas. O bien, la velocidad angular no es realmente la derivada de tu theta. Antes que nada, afirmativamente [math] \ omega (t) = \ theta ‘(t) [/ math] es una cantidad en las mismas unidades (sobre t unidades), coordinadas como [math] \ theta [/ math]: radianes (por segundo), probablemente en sentido antihorario.

Además, para clavar un clavo en el ataúd antes de confundirse nuevamente, theta está hablando de una cantidad dirigida . Técnicamente, hay un vector unitario [math] \ hat {\ phi} [/ math] en sentido antihorario. Por ejemplo, el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] 90 grados sobre el eje x es la posición [matemática] \ frac {\ pi} {2} \ hat {\ phi} [/ matemática].

Oh, ¿realmente necesitamos hablar sobre el caso cartesiano? Puede ser esclarecedor. Entonces, en el plano x, y , observe que [math] \ theta [/ math] en una posición [math] (x, y) [/ math] (aparte del origen) es por definición [math] \ theta (x , y) = \ tan ^ {- 1} \ frac {y} {x} [/ math]. (La otra forma de ver esto es que [matemáticas] x = \ cos \ theta, y = \ sin \ theta [/ matemáticas] .) Ahora, la velocidad angular omega es, una vez más, un escalar, unidades de radianes por segundo * *. Mientras que la velocidad v , incluso de algo que se mueve de forma muy angular, estaría dada por un vector [math] (x ‘, y’) [/ math] que no puede recuperarse al conocer la función [math] \ theta (t) [/ matemáticas] solo. También requerirá conocer la posición ( 2d, moviéndose en dirección no trivial ) [matemáticas] r (t) = \ sqrt {x (t) ^ 2 + y (t) ^ 2} [/ matemáticas] también. Pero no tiene sentido convertir de un lado a otro para expresar cosas redondas en concepciones cuadradas.

* En la formulación más simple. Si una bola cae desde la altura h en el capítulo 1, su velocidad es realmente una velocidad. Si hace piruetas, su posición en t = 0 era un vector.

** O como lo desee, un vector con esa magnitud en la dirección [math] \ hat {\ phi} [/ math]

A2A, gracias.

Suponga una función de valor escalar definida en un dominio multidimensional (por ejemplo, la distribución de temperatura en una lámina de metal). En cada punto del dominio, podemos hacer dos preguntas:

• ¿En qué dirección, emanando de ese punto, la función cambia más rápido?
• ¿Cuál es esa tasa de cambio más rápida?

La respuesta a la primera pregunta es una dirección; a la segunda, una magnitud. Un vector justo el tipo de objeto que nos ayuda a “codificar” una dirección y una magnitud.

Echa un vistazo a la definición de “gradiente” en Wikipedia.

Theta, o la variación angular, no puede considerarse un vector, ya que no es conmutativo en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], para cualquier [math] n \ ge3 [/ math]. La velocidad angular, sin embargo, es conmutativa.

Pensando en la definición que aprendemos cuando aprendemos vectores, un ángulo no se ajusta al criterio de “intensidad y dirección” para ser un vector. La velocidad angular lo hace, ya que el ángulo está cambiando a una determinada velocidad (intensidad) y en una determinada dirección.

El potencial gravitacional en una ubicación es escalar. La dirección de la fuerza gravitacional sobre un objeto es un vector; También resulta ser la derivada del potencial gravitacional. Este tipo de cosas sucede todo el tiempo en física.

La razón es que en el cálculo “normal”, puede acercarse al límite en una de las dos direcciones, correspondientes a f (x + h) – f (x) para h positivo o negativo. Y tienen que ser lo mismo. Tenga en cuenta que “h” es un número real.

Cuando aplica esto a casos de dos o tres dimensiones, “h” ya no es un número real. Es un vector, porque x también es un vector. Entonces, cuando calcula el equivalente de f (x + h) – f (x), termina con un vector.