¿Por qué los estados de mecánica cuántica están en el espacio de Hilbert?

Puede estar confundiendo los fenómenos físicos y su descripción matemática.

Tanto la mecánica clásica como la mecánica cuántica describen sistemas físicos en nuestro espacio tridimensional “real” habitual.

Las herramientas matemáticas pueden ser diferentes. Pueden usar números imaginarios, por ejemplo, pero esto no significa que describan algún espacio “imaginario”. 🙂

En mecánica, al decir “sistemas físicos” podemos referirnos a un conjunto de partículas de tamaño cero que interactúan entre sí, o un conjunto de cuerpos rígidos, palancas, poleas, etc.

En la mecánica clásica , la configuración de dicho sistema se describe utilizando coordenadas (y el número de coordenadas independientes es el número de grados de libertad del sistema: Grados de libertad (mecánica) | Wikiwand). Por lo tanto, cada configuración del sistema puede describirse como un punto en el espacio de configuración (Espacio de configuración | Wikiwand), pero el sistema mismo “vive” en el espacio 3D habitual.

El estado de este sistema (es decir, su configuración y velocidades de todas sus partes) puede describirse como un punto en el espacio de fase (Phase space | Wikiwand) que tiene el doble de dimensiones que el espacio de configuración, pero, nuevamente, el sistema en sí mismo ” vive “en el espacio 3D habitual.

Ahora, en mecánica cuántica , el estado del mismo sistema se describiría por una función de onda (o por una matriz de 1 columna, por cierto), que es un vector unitario en un espacio de Hilbert, en lugar de un punto en el espacio de fase. Pero este sigue siendo un sistema de nuestro mundo 3D.

El espacio de Hilbert es una de las elecciones de un físico para describir el estado de un sistema cuántico. A los físicos les gusta aplicar el concepto de vectores y el espacio de Hilbert es el espacio vectorial de elección para todas las funciones posibles sujetas a alguna restricción (por ejemplo, ser integrable al cuadrado).

En mecánica cuántica, las funciones de onda que describen todos los estados posibles de una partícula pueden tener infinitas posibilidades, por lo que se ajustan a la definición espacial de Hilbert. Es conveniente describir cada función como un “punto en un espacio vectorial” cuyas funciones de “ejes” se denominan “vectores base” (por ejemplo, las ondas sinusoidales de todas las frecuencias posibles) y luego las coordenadas están definidas por el producto escalar entre la función de onda y cada función base. ¿Suena complicado? no lo es En muchas situaciones, una partícula puede asumir solo una superposición de algunas funciones de onda y esas pueden usarse como vectores de base, por lo que el vasto espacio de Hilbert se reduce a un conjunto finito de funciones de base. Me gusta visualizar las funciones como puntos en un espacio como las flechas puntiagudas en coordenadas cartesianas y luego notar que un cambio de base es muy parecido a una rotación u otras modificaciones de los ejes, manteniendo estos vectores sin cambios.

En realidad, el espacio involucrado no siempre es un espacio de Hilbert. A veces es lo que se llama un “Espacio Hilbert aparejado”, que extiende el concepto del espacio Hilbert a funciones generalizadas.

Quizás podamos rastrear el uso del espacio de Hilbert en la mecánica cuántica hasta la ecuación de Schrodinger, que se inspiró en la conexión observada experimentalmente entre frecuencia y energía, así como en experimentos con espín, como el experimento SG, y quizás otros. La regla de Born nos ayudó a interpretar estos objetos matemáticos basados ​​en números complejos. Resulta que esta idea ha funcionado extremadamente bien, y los experimentos recientes nos han permitido “ver” la función de onda mejor que nunca.

Pero quizás también deberíamos notar que los espacios de Hilbert son simplemente una herramienta matemática ampliamente aplicable y el hecho de que se usen en la teoría cuántica no debería sorprender, tal vez.

Las funciones de onda en la teoría cuántica deben ser integrables al cuadrado. ¿Por qué? Porque su cuadrado (amplitud) es una función de densidad de probabilidad. Por lo tanto, se integra a uno. Las funciones de onda también son funciones propias de un operador, que son mutuamente ortogonales. Veamos: funciones ortogonales con respecto al producto interno, cada una con la unidad L2. Oye, suena como el espacio de Hilbert. Muy guay, muy casual.

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Parece que vivimos nuestras vidas en un espacio-tiempo de 4 dimensiones.

La matemática de la mecánica cuántica se describe mejor usando un espacio de Hilbert.

Esta es una generalización de la idea del espacio ordinario pero tiene dimensiones infinitas.

Para describir el estado de un sistema de dos partículas en la mecánica ordinaria, necesitamos dar las posiciones de las partículas en función del tiempo. Utilizamos 7 dimensiones para esto (x, y, z) de la partícula 1 y (x, y, z) para la partícula 2 yt para el tiempo.

Por lo tanto, no es un salto como uno podría pensar ir a dimensiones infinitas cuando se habla de un sistema arbitrario.

Hay algunos problemas técnicos que hacen que el espacio de Hilbert sea un tipo especial de espacio y estos se utilizan para garantizar que se comporte matemáticamente más como nuestro espacio de lo que podría haberlo hecho de otra manera.

En la mecánica cuántica, los estados se consideran puntos o vectores en el espacio de Hilbert, por lo que el espacio es crucial en la mecánica cuántica.

Esa es una gran pregunta y poco formulada. Por lo general, se devuelve al real de los “postulados”. Una vez escribí un artículo sobre los orígenes de las mediciones de posición, momento y energía y la naturaleza de la interacción de la materia clásica con los sistemas cuánticos. La razón por la cual estos tienden a dar proyecciones en estados propios (por lo tanto, espacios de Hilbert) surge como resultado de la naturaleza de los estados que definen la materia clásica. Derivación del comportamiento transitorio de muchos mundos