Lo interesante sobre los determinantes que a casi nadie le importa mencionar al definirlos en la escuela secundaria es el siguiente:
El determinante de una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] A [/ matemática], [matemática] \ det (A) [/ matemática], cuyas columnas son [matemática] c_1, c_2, \ ldots , c_n [/ math] es la función única que satisface las siguientes propiedades:
- [matemática] \ det (I) = 1 [/ matemática], donde [matemática] I [/ matemática] es la matriz de identidad.
- Intercambiar cualquiera de las dos columnas del determinante cambia su signo.
- Multiplicar una sola columna de [matemáticas] A [/ matemáticas] por un escalar [matemáticas] k [/ matemáticas] también multiplica su determinante por [matemáticas] k [/ matemáticas].
- Si la columna [matemática] v [/ matemática] se agrega a la columna [matemática] c_i [/ matemática] de [matemática] A [/ matemática], entonces [matemática] \ det \ begin {pmatrix} c_1 & \ cdots & c_ {i-1} & c_i + v & c_ {i + 1} & \ cdots & c_n \ end {pmatrix} = \ det (A) + \ det \ begin {pmatrix} c_1 & \ cdots & c_ {i- 1} & v & c_ {i + 1} & \ cdots & c_n \ end {pmatrix}. [/ Math]
La palabra más importante en la definición anterior es la que está en negrita. Ninguna otra función, aparte del determinante, tiene propiedades 1,2,3 y 4. Es por eso que estamos justificados para llamar a lo anterior la definición del determinante.
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Por lo tanto, si derivamos una fórmula determinante para el determinante [math] 3 \ times 3 [/ math] de la definición anterior, sabemos por la propiedad de unicidad que nuestra fórmula determinante es la única correcta. Entonces, procedamos ahora con esta derivación.
En primer lugar, necesitamos el siguiente lema.
Lema : Si [math] A [/ math] tiene dos columnas idénticas, entonces su determinante es cero.
Prueba: por la propiedad 2, si intercambiamos las dos columnas idénticas, el determinante cambia de signo. Pero dado que el intercambio de las dos columnas idénticas deja nuestra matriz sin cambios, tenemos [math] \ det (A) = – \ det (A) [/ math], lo que implica que [math] \ det (A) = 0 [/ math ]
Teorema : si [math] A [/ math] es una matriz [math] 3 \ times 3 [/ math], entonces [math] \ det (A) = \ det \ begin {pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} = a_1 (b_2c_3-b_3c_2) -a_2 (b_1c_3-b_3c_1) + a_3 (b_1c_2-b_2c_1). [/ math]
Prueba: por propiedad 4,
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} = \ det \ begin {pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} + \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} + \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix}. [/ math]
Por propiedad 3, esto se convierte en
[matemáticas] a_1 \ det \ begin {pmatrix} 1 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} + a_2 \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \ \ 1 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} + a_3 \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 1 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix }.[/matemáticas]
Considere el determinante de la primera matriz anterior. Usando el mismo argumento:
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 1 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} = b_1 \ det \ begin {pmatrix} 1 y 1 y c_1 \\ 0 & 0 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_3 \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y c_1 \\ 0 y 0 y c_2 \\ 0 y 1 y c_3 \ end {pmatrix} [/ math]
Por el lema, esto es igual a
[matemáticas] b_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_3 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 y c_1 \ \ 0 & 0 & c_2 \\ 0 & 1 & c_3 \ end {pmatrix}. [/ Math]
Similar,
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \\ 1 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} = b_1 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 y c_1 \\ 1 y 0 y c_2 \\ 0 y 0 y c_3 \ end {pmatrix} + b_3 \ det \ begin {pmatrix} 0 y 0 y c_1 \\ 1 y 0 y c_2 \\ 0 y 1 y c_3 \ end {pmatrix} [/matemáticas]
y
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 0 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 1 & b_3 & c_3 \ end {pmatrix} = b_1 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 y c_1 \\ 0 & 0 & c_2 \\ 1 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_2 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 1 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} .[/matemáticas]
Entonces tenemos, hasta ahora:
[matemáticas] \ det (A) = a_1 \ left (b_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_3 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & c_1 \\ 0 & 0 & c_2 \\ 0 & 1 & c_3 \ end {pmatrix} \ right) + a_2 \ left (b_1 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 & c_1 \ \ 1 & 0 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_3 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 0 & c_1 \\ 1 & 0 & c_2 \\ 0 & 1 & c_3 \ end {pmatrix } \ right) + a_3 \ left (b_1 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & c_2 \\ 1 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} + b_2 \ det \ begin {pmatrix} 0 & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 1 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} \ right). \ Quad [*] [/ math]
Así que ahora debemos considerar cada uno de los seis determinantes anteriores:
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y c_1 \\ 0 y 1 y c_2 \\ 0 y 0 y c_3 \ end {pmatrix} = c_1 \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} + c_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} + c_3 \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 \ end {pmatrix}. [/ math]
Los primeros dos de estos tres determinantes tienen dos columnas idénticas, por lo que su determinante es cero. El tercer determinante es el de [math] I [/ math], que es [math] 1 [/ math] por propiedad 1. Por lo tanto, obtenemos
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y c_1 \\ 0 y 1 y c_2 \\ 0 y 0 y c_3 \ end {pmatrix} = c_3. [/ matemáticas]
Del mismo modo, el determinante
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y c_1 \\ 0 y 0 y c_2 \\ 0 y 1 y c_3 \ end {pmatrix} = c_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix} = – c_2 \ det \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix } = – c_2. [/ math]
Intercambiamos la segunda y la tercera columna aquí, por eso cambiamos el signo de [math] c_2 [/ math].
Continuando de esta manera, obtenemos:
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 & c_1 \\ 1 & 0 & c_2 \\ 0 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} = – c_3; [/ math]
[matemática] \ det \ begin {pmatrix} 0 & 0 & c_1 \\ 1 & 0 & c_2 \\ 0 & 1 & c_3 \ end {pmatrix} = c_1; [/ math]
[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & c_2 \\ 1 & 0 & c_3 \ end {pmatrix} = c_2; [/ math]
[matemática] \ det \ begin {pmatrix} 0 y 0 y c_1 \\ 0 y 1 y c_2 \\ 1 y 0 y c_3 \ end {pmatrix} = – c_1. [/ matemática]
Entonces [matemáticas] [*] [/ matemáticas] se convierte en
[matemáticas] \ det (A) = a_1 (b_2c_3-b_3c_2) + a_2 (-b_1c_3 + b_3c_1) + a_3 (b_1c_2-b_2c_1) [/ matemática]
según sea necesario.
La prueba anterior se puede generalizar para mostrar que la expansión determinante habitual (técnicamente llamada expansión determinante de Laplace) que se enseña en la escuela también se deriva de las propiedades 1,2,3 y 4 anteriores.
