¿Qué propiedades útiles tienen los gráficos planos?

Una bastante interesante es la existencia de separadores, un conjunto de vértices que desconecta el gráfico en partes más o menos equilibradas; eso también en tiempo lineal solamente (en número de vértices). Esto ayuda a diseñar algoritmos eficientes de divide y vencerás específicamente para gráficos planos.

Para decirlo más formalmente, el teorema del separador plano establece que: dado cualquier gráfico plano G, podemos encontrar una partición del conjunto de vértices V en tres conjuntos A, B, C; tal que no exista borde entre los vértices en A y los vértices en B, C tiene un tamaño como máximo [math] \ sqrt {8n} [/ math], y A y B tienen un tamaño no mayor que [math] 2n / 3 [/ math ] (donde n es el tamaño de V)

Esto fue demostrado por Lipton y Tarjan en su artículo titulado “Un teorema del separador para gráficos planos”. En realidad, demostraron un resultado más fuerte: si los vértices tienen pesos que suman no más de 1, los conjuntos A y B habrían costado al menos [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas].

El límite superior del tamaño del conjunto C fue mejorado más tarde por Djidjev a [math] \ sqrt {6n} [/ math]. Para los gráficos con propiedades adicionales (como ser máximo plano, o 2-conectado), Miller y otros demostraron que el separador puede ser un ciclo simple.

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