La definición del operador mod que está utilizando es que [matemática] a \ mod b = c \ implica \ existe k | a = kb + c, 0 \ leq c <b [/ matemáticas]. En otras palabras, [matemática] c [/ matemática] es el resto después de dividir [matemática] a [/ matemática] por [matemática] b [/ matemática]
La definición de la notación básica numérica es [matemática] (a_n \ puntos a_2a_1a_0) _b = \ sum_ {i = 0} ^ n a_ib ^ i, 0 \ leq a_i <b [/ matemática]. En otras palabras, [matemática] a [/ matemática] está representada por una secuencia de dígitos entre 0 y la base, y el valor representado por cada dígito es un múltiplo de una potencia de la base.
Esto significa que el último dígito de un número representado en alguna base va a estar entre 0 yb, y el resto al dividir el número por la base.
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- ¿Cuál es el polinominal [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] de 2 grados como: [matemáticas] P (x + 1) -P (x) = x [/ matemáticas] también para 3 grados como [matemáticas] P (x + 1) -P (x) = x ^ 2 [/ matemática] también para 4 grados como [matemática] P (x + 1) -P (x) = x ^ 3 [/ matemática] y para 4 grado tal como [matemáticas] P (x + 1) -P (x) = x (x + 1) (x + 2) [/ matemáticas]?
Entonces su observación es acertada, siempre será el caso.
Pero tu operador de mod solo te da un solo dígito, mientras que la notación base te da más.
Ni su operador de modulación ni la notación de base ven mucho uso en matemáticas. Un problema es que la notación de un número no cambia el número, solo cómo lo anota. Independientemente de si escribe o no el 30º número primo como [matemática] 113_ {10}, 135_9, 161_8, 221_7, 305_6, 423_5, 1301_4, 11012_3, 1110001_2 [/ matemática] o incluso en la base de Fibonacci (donde cada dígito [ math] a_n [/ math] tiene el valor del enésimo número de Fibonacci) [math] 1001000100_F [/ math], sigue siendo el 30º primo, y tiene todas las propiedades que esperarías de eso. Si bien hay lugares en los que es útil usar una base no estándar (ver aplicaciones informáticas, donde los patrones de bits subyacentes revelados por hexadecimal u octal pueden ser más importantes que el número en sí) no son comunes.
Una notación relacionada más común y extremadamente útil es la “equivalencia modular”. Aquí, decimos que “[matemáticas] a [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] b [/ matemáticas] módulo [matemáticas] c [/ matemáticas]” (o, en símbolos, [matemáticas] a \ equiv b \ mod m [/ math]) if [math] ab = kc [/ math] para algún entero k. La equivalencia modular juega muy bien con la aritmética, ya que [matemática] a \ equiv b \ mod m, c \ equiv d \ mod m \ implica a + c \ equiv b + d \ mod m; a \ equiv b \ mod m \ implica ca \ equiv cb \ mod m [/ math] y así sucesivamente. Entre otras cosas, permite diversas formas de criptografía y pruebas de primalidad. Es posible que desee explorar el teorema del resto chino, el pequeño teorema de Fermat e ideas relacionadas para obtener más información sobre la utilidad de la aritmética modular y la equivalencia modular.
Hablando en términos prácticos, la forma en que esto se usa a menudo en la práctica es con su operador mod (ya que si [math] a \ mod b = c [/ math] entonces [math] a \ equiv c \ mod b [/ math]).
