La erminología difiere aquí, lo que podría confundirlo si ve otras respuestas en línea. Pero seguiré a Pugh aquí. Parece que estamos trabajando en un espacio métrico aquí, y usando la notación Mr (p) [math] Mr (p) [/ math] para una bola abierta de radio r> 0 [math] r> 0 [/ math] alrededor p [matemáticas] p [/ matemáticas].
Entonces, siempre que S⊆X [matemática] S⊆X [/ matemática], donde (X, d) [matemática] (X, d) [/ matemática] es el espacio métrico, entonces p∈X [matemática] p∈X [ / matemática] se llama un punto límite de S [matemática] S [/ matemática] cuando para todos r> 0 [matemática] r> 0 [/ matemática], S∩Mr (p) ≠ ∅ [matemática] S∩Mr ( p) ≠ ∅ [/ matemáticas]; p [matemática] p [/ matemática] se denomina punto de agrupación de S [matemática] S [/ matemática] cuando para todo r> 0 [matemática] r> 0 [/ matemática] el conjunto S∩Mr (p) [matemática ] S∩Mr (p) [/ math] es infinito, y S [math] S [/ math] se condensa en p [math] p [/ math] (la gente también dice que p [math] p [/ math] es un punto de condensación de S [matemática] S [/ matemática], que es más análoga a los nombres anteriores) siempre que para todo r> 0 [matemática] r> 0 [/ matemática] el conjunto S∩Mr (p) [matemática] S∩Mr (p) [/ math] es incontable.
Tenga en cuenta que si p∈S [matemáticas] p∈S [/ matemáticas], entonces Mr (p) ∩S [matemáticas] Mr (p) ∩S [/ matemáticas] siempre contendrá p [matemáticas] p [/ matemáticas] en menos. Entonces, usando esta definición, vemos que todos los puntos de S [matemática] S [/ matemática] son en sí mismos puntos límite de S [matemática] S [/ matemática], pero puede haber más, por ejemplo, si S = {1n∣n∈N + } [matemáticas] S = {1n∣n∈N +} [/ matemáticas] (como un subconjunto de los números reales en la métrica estándar), entonces todos los puntos de S [matemáticas] S [/ matemáticas] son puntos límite de S [ matemática] S [/ matemática], pero 0∉S [matemática] 0∉S [/ matemática] también lo es (y estos son todos los puntos límite de S [matemática] S [/ matemática]). Ahora tenga en cuenta que 1∈S [matemática] 1∈S [/ matemática] no es un punto de agrupación de S [matemática] S [/ matemática], ya que M12 (1) [matemática] M12 (1) [/ matemática] solo se cruza S [matemáticas] S [/ matemáticas] en {1} [matemáticas] {1} [/ matemáticas] y en ningún otro lugar. Lo mismo puede decirse de los otros puntos p [matemática] p [/ matemática] de S [matemática] S [/ matemática]: existe alguna r> 0 [matemática] r> 0 [/ matemática] tal que S∩Mr (p) = {p} [matemáticas] S∩Mr (p) = {p} [/ matemáticas]. Tal punto se llama un punto aislado de S [matemáticas] S [/ matemáticas].
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Ahora, en un espacio métrico tenemos los siguientes hechos:
(1) si p∈S [matemática] p∈S [/ matemática] no es un punto aislado de S [matemática] S [/ matemática], entonces es un punto de agrupación de S [matemática] S [/ matemática].
Prueba: suponga que p∈S [matemática] p∈S [/ matemática] no es un punto de agrupación de S [matemática] S [/ matemática]. Luego hay algunos r> 0 [matemática] r> 0 [/ matemática] tal que Mr (p) ∩S [matemática] Mr (p) ∩S [/ matemática] es finita, por lo que es igual a algún conjunto {p, p1 , …, pn} [matemáticas] {p, p1, …, pn} [/ matemáticas]. Entonces s = min (r, d (p, p1),…, d (p, pn))> 0 [matemática] s = min (r, d (p, p1),…, d (p, pn)) > 0 [/ math] está bien definido (como un mínimo finito de números> 0) y Ms (p) ∩S = {p} [math] Ms (p) ∩S = {p} [/ math], como Es fácil de ver. Entonces p [matemáticas] p [/ matemáticas] es un punto aislado de S [matemáticas] S [/ matemáticas]. Por lo tanto, todos los puntos de S [matemática] S [/ matemática] (que son todos los puntos límite de S [matemática] S [/ matemática]) se dividen claramente en puntos aislados y puntos agrupados de S [matemática] S [/ matemática].
(2) si p∉S [matemática] p∉S [/ matemática] es un punto límite de S [matemática] S [/ matemática], entonces p [matemática] p [/ matemática] es también un punto de agrupación de S [matemáticas] S [/ matemáticas].
Prueba: este es esencialmente el mismo argumento. Supongamos que p [math] p [/ math] no fuera un punto de agrupación, entonces para algunos r> 0 [math] r> 0 [/ math] tenemos S∩Mr (p) = {p1, …, pn} [math ] S∩Mr (p) = {p1,…, pn} [/ math], donde todo pi ≠ p [math] pi ≠ p [/ math] (el conjunto no está vacío, ya que p [math] p [/ matemática] es un punto límite por suposición). Definiendo s = min (d (p1, p),…, d (pn, p)) [matemática] s = min (d (p1, p),…, d (pn, p)) [/ matemática], nosotros vea que de nuevo s> 0 [matemáticas] s> 0 [/ matemáticas] y Ms (p) ∩S = ∅ [matemáticas] Ms (p) ∩S = ∅ [/ matemáticas], contradicción.
Por lo tanto, todos los puntos límite p [matemática] p [/ matemática] de S [matemática] S [/ matemática] son puntos de agrupación, excepto cuando p∈S [matemática] p∈S [/ matemática] y p [matemática] p [/ math] es un punto aislado de S [math] S [/ math]. Otro ejemplo donde esto ocurre es para conjuntos finitos S [matemática] S [/ matemática] (sin puntos de agrupación, y todos los puntos del conjunto finito son puntos límite y puntos aislados) y un conjunto como S = [0,1] ∪ { 2} [matemática] S = [0,1] ∪ {2} [/ matemática], donde 2 [matemática] 2 [/ matemática] es un punto límite, pero aislado, por lo que no es un punto de agrupación, y donde todos los demás puntos de S [matemática] S [/ matemática] son incluso puntos de condensación de S [matemática] S [/ matemática].