Al trazar la gráfica de la función [matemática] (- 1) ^ {n} n [/ matemática] podemos ver de inmediato que la función no existe para los valores fraccionales de [matemática] n [/ matemática] se volvería puramente los valores imaginarios y enteros de [math] n [/ math] solo darán puntos en el gráfico.
Esto puede ser nuevamente una razón por la cual el límite no existirá para esta función en el infinito.
Continuando, podemos asumir la expresión dentro del límite como un término de serie alterna que omite las fracciones. Conociendo la prueba para series alternas, necesitamos ver si [math] \ lvert a_ {n + 1} [/ math] [math] \ rvert [/ math] [math] \ leq \ lvert a_n \ rvert [/ math] y [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ lvert a_n \ rvert = 0 [/ matemáticas]
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En la primera condición, el resultado lo contradice con [math] a_ {n + 1} [/ math] es mayor que [math] a_n [/ math] y la segunda condición, sabiendo que incluso si n es un número entero, el valor de [math] a_n [/ math] solo aumenta con cada término que pasa (apareciendo como infinito y nunca igual a 0), no será cierto. Así la serie diverge.
Ahora podemos intentar tomar el límite de esta serie que creamos a partir de la función. Sabemos que si una serie diverge su límite (de los términos reales originales y no los términos absolutos) en el infinito tiene que ser uno de los siguientes:
- No existe
- Infinito positivo
- Infinito negativo
Sabemos que cuando incluimos el término original infinito positivo y negativo no puede ser una opción posible ya que nuestra función no es continua (como se indicó anteriormente). Esto nuevamente significa que el límite no existe.
