La función Lambert-W es una función importante, también conocida como la función de registro del producto, que nos permite resolver muchos tipos de problemas donde la variable es tanto una base como un exponente.
Es el inverso de [matemáticas] f (x) = xe ^ x [/ matemáticas], que significa [matemáticas] W (xe ^ x) = x [/ matemáticas]; aunque puede no ser inmediatamente obvio por qué esto es útil, verá a continuación que hay muchos ejemplos en los que otra función se puede transformar en esta forma.
Gráficamente, la función se ve así para los valores reales principales (observe que los subíndices se usan para denotar múltiples soluciones). Cuando una solución se expresa en términos de [matemática] W [/ matemática] sin subíndice, se implica que todos los valores se están expresando.
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Aquí hay un ejemplo relativamente simple, que proporciona una solución a una de las preguntas más comunes que no se pueden responder en términos de funciones elementales (no, la función Lambert-W no es elemental):
[matemáticas] x ^ x = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ln x = \ ln 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {\ ln x} \ cdot \ ln x = \ ln 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln x = W (\ ln 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] x = e ^ {W (\ ln 4)} [/ matemáticas]
Aquí hay aproximaciones decimales usando [math] W _ {- 1} [/ math], [math] W_1 [/ math] y [math] W_0 [/ math]:
[matemáticas] e ^ {W _ {- 1} (\ ln 4)} \ aprox -0.0784212 + 0.2904457i [/ matemáticas] [1]
[matemáticas] e ^ {W_ {0} (\ ln 4)} = 2 [/ matemáticas] [2] (¡reconfortante que obtuvimos un valor esperado!)
[matemáticas] e ^ {W_ {1} (\ ln 4)} \ aprox -0.0784212 – 0.2904457i [/ matemáticas] [3]
Tenga en cuenta que debido a que los exponentes complejos son de valores múltiples, una calculadora estándar probablemente no arroje el resultado esperado para los valores complejos [matemáticos] W [/ matemáticos].
Notas al pie
[1] Motor de conocimiento computacional
[2] Motor de conocimiento computacional
[3] Motor de conocimiento computacional
Esta horrible criatura es producto de un programa fractal basado en exponenciales iterados, un área matemática donde la función lambert w asoma su cabeza. El artículo La función Lambert W en Wiki proporciona detalles que incluyen una demostración de cómo z ^ z ^ z ^ z … 
Más detalles bajo petición. 
tiene un número infinito de soluciones y para cada valor (distinto de cero) de x, LambertW tiene un número infinito de ramas. 
