¿Cuál es el significado del teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser?

El teorema de KAM iluminó la comprensión de la dicotomía entre los sistemas ergódicos y los integrables.

En 1911, Einstein en la Conferencia de Solvay sugirió un significado físico para la acción integral: su constancia “adiabática” estaba directamente relacionada con la conservación del número de cuantos en un sistema que variaba lentamente. Esta observación resultó en la aproximación de WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin).

Por otro lado, hacia fines del siglo XIX, Poincaré investigó la estabilidad del sistema no lineal acoplado. Durante este período, Von Zeipel (1916) y otros idearon los métodos perturbativos para describir el comportamiento a corto plazo de estos sistemas. Paralelamente, la teoría cuántica estimuló la teoría de la perturbación secular, que permite la inclusión local de la interacción resonante entre dos grados de libertad (Born, 1927).

Además de estos avances en la descripción del comportamiento a corto plazo de los sistemas acoplados no lineales, la estabilidad a largo plazo del sistema solar (¿Es estable el sistema solar?) No puede describirse mediante tales teorías (la creencia predominante era que el movimiento planetario era cuasiperiódico y podría resolverse).

Al mismo tiempo, Boltzmann presentó su descripción de los sistemas mecánicos con muchos grados de libertad. En su opinión, el movimiento molecular debe considerarse aleatorio, con cada molécula explorando toda la superficie de energía del espacio de fases accesible (hipótesis ergódica de Boltzmann).

La descripción de Boltzmann se convirtió en la base de la mecánica estadística clásica.

Estas contracciones entre integrabilidad y ergodicidad apuntan a un problema no resuelto de la mecánica clásica (¿Cómo son los sistemas completamente integrables lo opuesto a los sistemas ergódicos?). Poincaré demostró que las fuerzas aplicadas regulares pueden generar movimiento estocástico en sistemas osciladores no lineales. Birkhoff demostró que deben existir puntos fijos estables e inestables si la relación de frecuencia entre dos grados de libertad es un número racional (resonancia). La topología de las trayectorias del espacio de fase se cambia por resonancias de orden superior, formando cadenas de islas en una escala cada vez más fina, un primer indicio de que las expansiones perturbadoras no incluyeron tales efectos de orden superior (ver Teorema de punto fijo de Poincaré-Birkhoff).

Video 1: Superficie de la sección del modelo de Hénon-Heiles al movimiento no lineal de una estrella alrededor de un centro galáctico donde el movimiento está restringido a un plano. Este modelo muestra un régimen integrable y ergódico dependiendo de su energía inicial. Además, podemos ver la formación de cadenas de islas debido a resonancias de orden superior.

A pesar del progreso científico, la cuestión de la dicotomía entre la hipótesis ergódica (si una trayectoria explora la porción completa del espacio de fases que es energéticamente accesible para ti) y la integrabilidad (si está limitada por la existencia de constantes de movimiento) no se aclaró hasta el teorema de Kolmogorov (1954), Arnold (1963) y Moser (1962) (teorema KAM) que establece que para el sistema perturbado de los integrables, las superficies invariantes en el espacio de fase continúan existiendo para la mayoría de las condiciones iniciales. Por lo tanto, aunque el movimiento cerca de puntos fijos (separatriz) de cada resonancia es estocástico, el movimiento está limitado por las curvas KAM cercanas y no es ergódico .

Las aplicaciones del teorema de KAM son indirectas, a través de la mecánica estadística de no equilibrio (y equilibrio). En especial en lo que concierne a la relajación al equilibrio. El sistema que interactúa a través de la interacción culombiana (como los sistemas biológicos), por ejemplo, puede quedar atrapado en estados cuasi estacionarios no ergódicos durante largos períodos de tiempo, relajándose, eventualmente, al equilibrio habitual de Maxwell-Boltzmann. El proceso entre estos dos estados sigue siendo un problema abierto en física teórica (ver la respuesta de Felipe L. Antunes a ¿Cuáles son algunos ejemplos de interacciones de largo alcance en mecánica estadística?). Las barreras KAM, que controlan el comportamiento caótico, pueden explicar tales fenómenos (todavía no hay evidencias, ¡estoy trabajando en ello!). Además, si tiene algún sistema hamiltoniano no integrable (necesito tener cuidado con esa palabra, pero creo que es cierto), podría encontrar una aplicación de la teoría KAM.

Referencias

Dinámica regular y caótica
http://mathworld.wolfram.com/Sep…
¿Cuál es una explicación fácil de usar del teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) de los sistemas dinámicos?

Puede encontrar aplicaciones de mecánica estadística de largo alcance para coloides aquí:
Interacciones coloidales en las interfaces fluidas †
Dinámica de partículas coloidales con interacciones capilares.
Ondas de choque en el colapso capilar de coloides: un sistema modelo para la gravedad newtoniana apantallada bidimensional
Dinámica colectiva de coloides en interfaces fluidas

Tiene que ver con la estabilidad de un sistema dinámico bajo perturbación a través del examen de las órbitas. Esto nos ayuda a clasificar los sistemas.

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