¿Cuál es el significado de una variedad simpléctica? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

(Advertencia: no soy físico ni estoy muy versado en geometría simpléctica, así que toma esta respuesta con un grano de sal).

La breve motivación es que los físicos se dieron cuenta de que la velocidad y el impulso son conceptos importantes. Cuando se da cuenta de esto, rápidamente se hace evidente que, en lugar de solo pensar en el espacio de configuración M de un sistema físico, es importante considerar también el paquete tangente o cotangente. El paquete tangente es “obviamente” bueno porque un par (punto, velocidad) corresponde a un punto en TM. En cuanto a cómo pasar de TM a T * M, una receta es mapear (punto, velocidad) a (punto, d (Lagrangiano) / d (velocidad)) = (punto, momento). (Vea Cómo ver el Espacio de Fase de un Sistema Físico como el Paquete Cotangente. Para que esta receta sea formal, debe considerar el [matemático] L [/ matemático] lagrangiano como un mapa de TM a los números reales, y luego perseguirlo ciertas definiciones e identificaciones naturales para reconocer que la derivada de [matemáticas] L [/ matemáticas] da lugar a una asociación de pares [matemáticas] (x, v) \ en TM [/ matemáticas] (donde [matemáticas] v [/ matemáticas] ] es una velocidad, es decir, un vector tangente, en [matemática] x [/ matemática]) a los pares correspondientes [matemática] (x, v ^ *) [/ matemática] (donde [matemática] v ^ * [/ matemática] es un elemento de [math] T ^ * _ xM [/ math], el espacio vectorial dual al espacio tangente). Esto no es realmente difícil, pero es muy molesto escribirlo en detalle en LaTeX, así que lo omitiré .) De todos modos, lo importante es que la idea de impulso termina de forma muy natural en el paquete cotangente. Y es simplemente un hecho sobre el universo que el paquete cotangente de cualquier espacio de configuración uniforme está equipado con una forma simpléctica dada por Dios. Como esta estructura está ahí, tiene sentido usarla al formular teorías físicas.

Con eso fuera del camino, ¿qué demonios es una forma simpléctica de todos modos?

Puede que no sea muy útil si la terminología es demasiado avanzada, pero de todos modos le recomiendo que mire ¿Qué es una forma simpléctica intuitivamente? y ¿Cuál es la intuición física para estructuras simplécticas? Una forma simple de decirlo es que una forma de dos formas de medir el área en cálculo multivariable. Creo que la importancia para la física se reduce a lo siguiente: resulta que una forma de dos es precisamente lo que se requiere para traducir una energía funcional en el espacio de fase (un hamiltoniano) en un flujo (un campo vectorial). [Vea Wikipedia para saber cómo va la traducción, o lea el libro de Arnol’d Métodos matemáticos de mecánica clásica, o una referencia similar.] El flujo describe la evolución temporal del sistema; Las ecuaciones que lo definen son las ecuaciones de Hamilton. Una propiedad que tienen estos flujos es que preservan la forma simpléctica; esto es solo una consecuencia formal de la receta para pasar de Hamiltoniano a fluir usando el formulario. Entonces, habiendo contemplado el impulso, aquí podemos describir cómo evolucionan los sistemas usando el espacio de fase T * M, donde no solo hay una estructura extra extremadamente natural (la forma simpléctica canónica), sino que también esa estructura pasa a ser preservada por La evolución física del sistema. Eso es muy lindo! Aún mejor, esta es una buena manera de expresar las leyes de conservación . Cuando la evolución física preserva algo, es una ley de conservación. Entonces, en cierto sentido, la “conservación de la forma simpléctica” es la segunda ley de conservación más básica. (Lo más básico es la conservación de la energía, que es esencialmente la definición del flujo hamiltoniano). Puede usar la conservación de la forma simpléctica para demostrar la existencia de otras cantidades conservadas cuando su sistema es invariante bajo simetrías (este es el teorema de Noether, que puede También se probará de otras maneras, creo, pero probablemente se reduzcan al mismo argumento en última instancia).

Bueno, todo lo que dije fue que necesitábamos una forma de dos (medida de área) para hacer esto. Eso no es del todo bien. Las hipótesis simplécticas (cerrado + no degenerado) son una especie de requisitos “técnicos” para hacer que las cosas pasen bien.

Decir que el formulario está cerrado resulta ser exactamente lo que necesita para garantizar la “conservación de la forma simpléctica”. Por lo tanto, es una condición muy útil, y afortunadamente es cierto para la medida del área natural en el paquete cotangente T * M.

Decir que la forma no es degenerada significa que define una noción “buena” de área (es decir, no asigna área cero al paralelogramo atravesado por dos vectores tangentes linealmente independientes distintos de cero en cualquier punto). Este es un tipo de propiedad de unicidad, que también es cierto para la doble forma canónica en T * M. Si no fuera por esto, la función hamiltoniana no fijaría únicamente el flujo correspondiente. (Una intuición muy confusa para esto es la siguiente. Parte de la magia de todo esto, mencionado anteriormente, es que el flujo hamiltoniano preserva la forma simpléctica, que es una especie de “rigidez” de las trayectorias clásicas. Cuando una forma de dos formas desaparece , preservarlo es una restricción más flexible; específicamente, cuando su noción de área ignora los vectores de velocidad que apuntan en ciertas direcciones v en ciertos puntos x, entonces su trayectoria podría preservar esta noción de área independientemente de qué tan rápido se mueva en la dirección v en el punto x ¡Eso parece malo, ya que hablar físicamente debería importar lo rápido que te muevas! Por supuesto, este comentario no prueba nada, ya que si bien es cierto que las trayectorias clásicas deben conservar la forma simpléctica, no es necesario que ocurra lo contrario. – que yo sepa, puede tener mapas desde el espacio de fase hacia sí mismo que respeten la medida del área [llamada symplectomophisms ] que no necesariamente provienen de flujos hamiltonianos).

Para cerrar, sin embargo, deduzco del primer enlace anterior que no se debe leer demasiada profundidad física en esta configuración. Sucede que los sistemas mecánicos clásicos simples siguen ODE de segundo orden (segunda ley de Newton), por lo que su evolución corresponde a flujos a lo largo de campos vectoriales. Es decir, cuando conoce la configuración y la velocidad del sistema, sabe cómo evoluciona. Pero no hay un “teorema” de que esto deba ser cierto para toda la física, ¡al menos hasta donde yo sé! Y, sin embargo, es una geometría muy simple y elegante, por lo que quizás no sea sorprendente que los físicos pasen mucho tiempo estudiando sistemas que se pueden describir de esta manera, o tratando de reducir el estudio de sistemas más complejos a esta configuración, ya que es tan clásico bien entendido. A veces es posible que desee utilizar solo ciertas características de la situación clásica, como la forma simpléctica. En estas situaciones más generales (que surgen en la termodinámica, supongo), incluso si puede encontrar una buena estructura simpléctica o relacionada en el modelo matemático de la física, probablemente no surja a través del paquete cotangente de configuración del espacio de configuración anterior. Entonces, en ese sentido, la forma simpléctica puede no ser “dada por Dios” como está en T * M, y podría no reducirse a nada tan obviamente físicamente significativo como la noción de impulso. Pero estoy especulando aquí; como dije, no soy físico y no sé nada sobre aplicaciones de geometría simpléctica fuera de la mecánica clásica.

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