¿Cuál es el radio de giro y su significado físico en detalle?

El momento de inercia [matemática] (I) [/ matemática] de un objeto es una propiedad de masa que se usa comúnmente para determinar la aceleración angular sobre un eje de rotación para un par aplicado dado.

Por ejemplo, considere un disco sólido con radio = [matemática] R [/ matemática] y masa total = [matemática] m [/ matemática].

El momento de inercia sobre el eje de rotación que pasa por el centro es [matemática] I_ {x} = \ frac {1} {2} mR ^ 2 [/ matemática]

Dado que es un disco sólido, la masa del disco se distribuye uniformemente a través del área del disco. Ahora imagine que de alguna manera tomamos la masa total y la concentramos en un radio = [math] k [/ math] como se muestra arriba a la derecha, de modo que el disco de pared delgada resultante tenga el mismo momento de inercia que el disco sólido. El radio en el que tienen la misma inercia se llama “radio de giro” y generalmente se denota con la letra “[matemáticas] k [/ matemáticas]”

radio de giro [matemáticas] k = \ sqrt \ frac {I} {m} [/ matemáticas]

Según la fórmula, el radio de giro dependerá del momento de inercia de la masa del objeto y de la masa total.

El único ejemplo práctico de radio (de masa) de giro que conozco es que los fabricantes de motores eléctricos a menudo incluyen especificaciones de radio de giro en sus catálogos en caso de que un ingeniero desee hacer cálculos de aceleración. No estoy seguro de por qué no simplemente publican especificaciones de inercia.

Una última cosa. No olvide distinguir entre el radio de giro (masa) y el radio de giro (área). El radio de giro como propiedad de área se define como:

radio de giro [matemáticas] k = \ sqrt \ frac {I} {A} [/ matemáticas]

A2A (Gracias por eso).

Asumiré que conoces los conceptos básicos de Momento de inercia y Centro de masa. Sí, eso es todo lo que necesitas!

Ahora, supongamos que tiene un cuerpo que tiene una masa de 1 kg, que no tiene un conjunto definido de patrones de distribución de masa, es decir, no se puede saber si el cuerpo es cilíndrico, esférico o incluso cúbico. Algo como esto:

(Observe que no puede definir la distribución de masa por una ‘ecuación’ o ‘tendencia’)

Por otro lado, tienes una muy buena bola de hierro de 1 kg, que se encuentra muy bien en tu mano de esta manera:

(Parece pesado y pequeño, pero puedes definir su distribución de masa por ecuación de esfera, ¿no?).

Ahora digamos que los pones a ambos en tus palmas y les das a ambos una aceleración angular de 1 rad / seg2. ¿Qué piensas tú que sucederá?

Sabes que aplicaste un momento = (inercia) x (aceleración angular) tanto en la papa como en la pelota. La aceleración angular es solo 1, por lo que ahora conoce el momento de inercia de la masa de la papa, simplemente sabiendo cuánto momento aplicó en la papa para darle una unidad de aceleración angular.

Ahora te preguntas, les di a ambos la misma aceleración angular, pero ¿di momentos diferentes para lograrlo? La respuesta es sí (lo dejaré a su intuición para que lo resuelva).

Pero dices ¡ay! Quiero dar el mismo momento, al igual que le di la misma aceleración angular. Pues no te preocupes! Para mantener el momento Y la aceleración angular iguales, debe tener el mismo momento de inercia para ambas masas. ¿Cómo logras eso? Creo que lo tienes resuelto (Psst …. Teorema del eje paralelo).

En resumen, aumentó la distancia de la bola de hierro desde el punto donde está aplicando la aceleración angular para que pueda aumentar el momento de inercia, reduciendo así el momento requerido. Voy a suponer que el momento de inercia de nuestra pequeña bola sobre su propio eje de rotación es muy pequeño en comparación con el momento de inercia que introdujo a través del cambio de eje. Esto te da una ecuación muy bonita que:

(masa de bola de hierro) x (distancia al cuadrado) = (momento de inercia de la papa)

Esta distancia al cuadrado no es más que un cuadrado de radio de giro. No es más que la distancia que tendrá que desplazar el punto donde se concentra toda la masa de cualquier cuerpo desde el eje de rotación, de modo que obtenga el mismo momento de inercia como si estuviera girando el cuerpo sobre su eje de rotación. rotación. Esto es conveniente cuando tenemos objetos que son difíciles de analizar (como nuestra papa).

Espero que eso haya aclarado las cosas. Déjame saber cualquier pregunta que tengas en los comentarios.