La divergencia del gradiente se conoce como la laplaciana. Es probablemente el operador más importante cuando se usan ecuaciones diferenciales parciales para modelar sistemas físicos.
[matemáticas] \ nabla \ cdot (\ nabla u) \ equiv \ nabla ^ 2 u \ equiv \ Delta u [/ math]
El laplaciano es la suma de los cuadrados de las derivadas parciales.
- ¿El Axioma de elección es crítico para la base matemática de cualquier teoría física?
- ¿Necesito saber Matemáticas y Física si tengo que ingresar a la Inteligencia Aritifical?
- ¿Cuál es una forma intuitiva de entender la transformación de Fourier bidimensional de una imagen?
- ¿Es posible que el desplazamiento sea mayor, menor o igual que la distancia?
- ¿Cuándo se considera útil la inercia?
[matemáticas] \ Delta u = \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ parcial z ^ 2} +… [/ matemáticas]
Esta es la generalización de la segunda derivada cuando está en más de una dimensión. Es una medida de cuánto difiere el campo en la ubicación del promedio de sus alrededores. Es la medida de la inconformidad y también se puede definir como la tasa que el promedio sobre una pelota cambia con respecto a r.
El PDE
[matemáticas] \ Delta u = 0 [/ matemáticas]
se conoce como la ecuación de Laplace. Las soluciones a esta ecuación son campos donde cada punto es el promedio del campo sobre bolas centradas en ese punto. Esto significa que no hay máximos o mínimos locales. De la región fluye tanto gradiente como fluye hacia adentro.
Una región con temperatura que está en equilibrio satisfará la ecuación de Laplace. Como lo hará el campo potencial electrostático en equilibrio.
En términos más generales, la ecuación de calor establece que la velocidad a la que cambia la temperatura en cualquier lugar con respecto al tiempo es proporcional a la de Laplacia allí. Es decir
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} = \ alpha \ Delta u [/ math]
Los lugares cálidos se suavizan y se parecen más a los alrededores al dar su calor. Los lugares fríos también se suavizarán al absorber el calor cercano. La ecuación de Laplace es lo que obtienes cuando la derivada con respecto al tiempo es cero.
Podemos generalizar esto aún más. Cuando tomamos la ecuación de Laplace y reemplazamos el cero con un término no homogéneo, obtenemos la ecuación de Poisson.
[matemáticas] \ Delta u = f [/ matemáticas]
Este es un sistema difusivo en equilibrio, a pesar de que la energía fluye dentro y fuera del sistema.
Si queremos el problema propio donde queremos un campo que sea proporcional a su Laplaciano negativo, llegamos a la ecuación de Helmholtz. Esto describe la propagación de ondas en el dominio de frecuencia, donde [math] k [/ math] es el número de onda
[matemáticas] \ Delta u + k ^ 2 u = 0. [/ matemáticas]
En el dominio del tiempo tenemos la ecuación de onda
[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2 u} {\ parcial t ^ 2} = c ^ 2 \ Delta u [/ matemática]
Una transformación de Fourier convertirá uno en el otro.
Quédate conmigo. Esto va a entrar en algunas de mis investigaciones actuales. Pero verá una aplicación importante de los tres operadores mencionados.
El operador curl-curl se puede expresar como
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) – \ mathbf {\ Delta} \ mathbf {A} [/ math]
Esto incluye el gradiente de la divergencia, así como el vector laplaciano.
[math] \ mathbf {\ Delta} \ mathbf {A} = (\ Delta A_x, \ Delta A_y, \ Delta A_z) [/ math]
Dado un campo electromagnético en el dominio de frecuencia, satisface las ecuaciones de Maxwell del dominio de frecuencia
Dejar
[math] \ mathbf {A} = \ sqrt {\ sigma – i \ omega \ epsilon} \ mathbf {E} [/ math]
[math] \ mathbf {B} = \ sqrt {i \ omega \ mu} \ mathbf {H} [/ math]
Luego
[math] \ nabla \ times \ mathbf {A} = k \ mathbf {B} [/ math]
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = k \ mathbf {A} [/ math]
donde tanto [math] \ mathbf {A} [/ math] como [math] \ mathbf {B} [/ math] satisfacen la ecuación vectorial de Helmholtz
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {A} – k ^ 2 \ mathbf {A} = 0 [/ math]
En una región sin fuentes y sin incluir el origen, podemos representar este campo electromagnético con un par de campos escalares [matemática] u, v [/ matemática]. Estos se conocen como potenciales de Debye, y satisfacen la siguiente relación muy interesante que utiliza tanto el curl como el curl-curl.
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times (u \ mathbf {r}) + k \ nabla \ times (v \ mathbf {r}) = \ mathbf {A} [/ math]
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times (v \ mathbf {r}) + k \ nabla \ times (u \ mathbf {r}) = \ mathbf {B} [/ math]
donde tanto [math] u [/ math] como [math] v [/ math] satisfacen la ecuación escalar de Helmholtz.
Si está interesado, hay un gran artículo sobre el tema de Calvin Wilcox (1957) sobre la teoría detrás de los potenciales de Debye.
Si quiero convertir de un campo electromagnético o viceversa, tendré que usar la identidad para curl-curl. Resulta que cuando se usan coordenadas esféricas, el gradiente de la divergencia cae para el componente radial. Entonces
[matemáticas] \ Delta_ {B_r} u = -r \ mathbf {A} _r [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta_ {B_r} v = -r \ mathbf {B} _r [/ matemáticas]
Donde [math] \ Delta_ {B_r} [/ math] es el Laplaciano tangencial en una esfera de radio r. Este es un caso especial de lo que se conoce como el operador de Laplace-Beltrami, la divergencia del gradiente tangencial.
Si u es una combinación lineal de armónicos esféricos, no es tan difícil trabajar con él.
