¿Por qué el número de ceros no puede ser mayor que el número de polos en una función de transferencia?

Técnicamente puede.

Tomemos, por ejemplo, un circuito diferenciador de amplificador operacional ideal.

En el dominio del tiempo, la relación Vout / Vin va a ser
Vout = -RC d / dt (Vin)

En el dominio LaPlace (función de transferencia), será
Vout = -RC * s * Vin.

La función de transferencia tiene un cero y no tiene ningún polo.

Si luego agrega la salida diferenciada a otro Vin, puede obtener

Vout = – (RC – A) * Vin,
donde A es la ganancia del otro preamplificador. Esto pone un cero en s = A.

Agregue más, y puede agregar un montón de ceros sin ningún polo.

(Por supuesto, estoy descuidando el ancho de banda del amplificador operacional, que agrega 2 polos complementarios para cada amplificador operacional).

El problema al hacerlo es que aumentar la frecuencia aumentará para siempre la salida, lo que no es realizable en un sistema físico.

Una pregunta mucho más interesante sería por qué no podemos tener polos con Re {s}> 0. La respuesta a eso es la estabilidad, pero en términos prácticos puede crear un circuito con tal respuesta, pero será impulsado a la oscilación ya que la “resistencia negativa” requerida para hacerlo cambiará en cierto punto.

Ellos absolutamente pueden. Pero en el infinito, su respuesta de frecuencia termina con una pendiente positiva de 20 dB por década * (número de ceros menos el número de polos). En otras palabras, si hay más ceros que polos, la ganancia a altas frecuencias llega al infinito, e incluso el más mínimo ruido de alta frecuencia se amplifica enormemente. Entonces, desde una perspectiva práctica, tiene una SNR que tiende a 0.

Sin embargo, puede multiplicar dicha función de transferencia por algo con una característica de paso bajo de orden superior, de modo que su función de transferencia general se despliega a altas frecuencias y obtiene datos significativos. La naturaleza a menudo hace esto por usted de todos modos, incluso si su modelo no lo refleja.

Un diferenciador es una versión simple de esto: un cero, sin polos, y los incluye en los modelos todo el tiempo, simplemente se combinan con otros elementos que luego se despliegan. Su misión, si elige aceptarlo, es asegurarse de que no amplíen sus amplificadores ni exploten sus números primero. De hecho, un filtro de paso alto es esencialmente un diferenciador práctico, un diferenciador por debajo de su frecuencia de corte, con un polo para desenrollarlo a altas frecuencias.

Asumamos la siguiente función de transferencia DT:

[matemática] H (z) = \ frac {(z – 1) (z – 2)} {(z – 3)} [/ matemática] donde los ceros son [matemática] z_k = {1, 2} [/ matemática] y los polos son [matemática] p_k = 3 [/ matemática]. Tomando la transformada Z inversa, obtendría la siguiente ecuación:

[matemática] y (n-1) – 3y (n-2) [/ matemática] = [matemática] x (n) -3x (n-1) + 2x (n-2) [/ matemática]
lo cual es claramente no causal. Esto significa que no es posible una implementación en tiempo real, ya que la salida depende claramente de una entrada futura. Los polos introducen el concepto de retraso en la respuesta al impulso para que no se necesiten muestras futuras para calcular la salida.

Esta idea también es coherente con la función de transferencia CT:

[matemática] H (s) = \ frac {(s + 1) (s + 2)} {(s + 3)} [/ matemática] donde los ceros son [matemática] s_k = {1, 2} [/ matemática] y los polos son [math] s_k = 3 [/ math]. Reimaginando la ecuación diferencial utilizada para describir este sistema, obtendríamos la siguiente ecuación:

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} + 3 = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 x} {\ mathrm {d} t ^ 2} + 3 \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + 2x [/ math] que representa la no causalidad, similar a la función de transferencia DT.

Una nota al margen: obviamente, puede almacenar la señal fuera de línea y hacer el procesamiento, ¡pero eso supera el propósito del procesamiento de la señal en tiempo real!

Todas las respuestas hasta ahora son correctas y me gustaría explicar esto según mi entendimiento.
Como todos dijeron, es matemáticamente posible. Sabemos que cada polo de un sistema agrega una pendiente de -20dB / década a la respuesta de frecuencia del sistema en su frecuencia de esquina. Del mismo modo, cada cero agrega una pendiente de + 20dB / década. Si el número de polos

Hay algunas respuestas excelentes que demuestran que los ceros pueden ser mayores que los polacos. Me gustaría agregar un punto en referencia a su análisis de estabilidad. Ya sea lineal o no lineal, se ha desarrollado un criterio de estabilidad especialmente teniendo en cuenta que a) el sistema tiene más número de polos que ceros [[matemática] PZ \> \ 0 [/ matemática]] yb) no hay polo cancelación de ceros Desde el lugar de la raíz hasta la trama de Bode y desde Nyquist hasta el criterio de Popov, debe seguirlo. De lo contrario, podemos diseñar un modelo matemático del sistema a partir de los métodos disponibles en papel.

Una respuesta más práctica es que si tiene más ceros que polos, el sistema se volverá no causal, es decir, la salida actual dependerá de la entrada futura. Los verdaderos sistemas físicos son siempre causales.

Ver aquí: ¿Por qué se dice que, para los sistemas de control, el número de polos debería ser mayor que el número de ceros?

Matemáticamente puede tener más ceros que polos. Pero si lo hace, entonces la magnitud de la función de transferencia diverge al infinito a alta frecuencia. Es por eso que esto no es posible en ninguna función de transferencia que represente un sistema físico verdadero.