Solo para dar un poco de información sobre la buena respuesta de Guy, supongamos que tenemos una colección de variables aleatorias iid [math] X_k [/ math]. Entonces sabemos que podríamos aplicar el teorema del límite central a su promedio para ver que este promedio converge a una distribución normal (siempre que las variables aleatorias tengan una variación finita). Como el promedio y la suma difieren solo en una constante, se deduce que la suma también se distribuirá aproximadamente de manera normal para una muestra suficientemente grande.
Pero supongamos que nos importa el producto en lugar de la suma. Bueno, sabemos que si las variables aleatorias son iid, entonces sus registros también lo son (siempre que el soporte de la distribución de [math] X_k [/ math] sea estrictamente positivo). Y de nuevo, por el mismo razonamiento que el anterior, sabemos que la suma de sus registros seguiría aproximadamente una distribución normal para una muestra suficientemente grande (siempre que el valor esperado del cuadrado del registro sea finito, lo que sin duda sería cierto cuando el original las variables aleatorias tienen varianza finita). Pero la suma de los registros es el registro de su producto. Supongamos que queremos entender la variable aleatoria [math] Y [/ math]:
[matemáticas] Y = \ prod_ {k = 1} ^ n X_k [/ matemáticas]
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Hemos aprendido que para suficientemente grandes [matemáticas] n [/ matemáticas]
[matemática] \ ln Y = \ ln \ izquierda (\ prod_ {k = 1} ^ n X_k \ derecha) [/ matemática]
será aproximadamente distribuido normalmente.
Entonces:
[matemáticas] Y \ aprox e ^ Z [/ matemáticas]
para algunos (no necesariamente estándar) normalmente distribuidos variable aleatoria [matemática] Z [/ matemática].
Lo que hemos aprendido es que el producto de variables aleatorias iid (suficientes) positivas (que no tienen colas prohibitivamente largas) seguirá una distribución que es la misma que la distribución de la función exponencial aplicada a una variable aleatoria normal. Esta familia de distribuciones se llama distribución Log-normal.
