Nuestro primer paso es descubrir qué queremos usar como nuestra suposición para establecer nuestra contradicción. Una suposición ingenua sería suponer que el conjunto vacío está cerrado. Sin embargo, esto no conducirá a una contradicción, porque el conjunto vacío DE hecho está cerrado.
Tenga en cuenta que para el resto de esta respuesta, supondré que su conjunto de ambiente es [math] \ mathbb {R} [/ math] pero no tiene que ser así, y esta prueba funcionará de la misma manera independientemente, pero cada vez que vea [math] \ mathbb {R} [/ math] solo recuerde que me estoy refiriendo a su conjunto ambiental.
De todos modos, [math] \ emptyset [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math] tienen la cualidad especial de que están abiertos Y cerrados. Entonces, con eso en mente, deberíamos comenzar de la siguiente manera:
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Suponga que [math] \ emptyset [/ math] no está abierto.
Sin embargo, sabemos que el siguiente teorema es verdadero:
[math] (1) \ \ emptyset [/ math] está abierto [math] \ iff \ mathbb {R} \ setminus \ emptyset [/ math] está cerrado
Entonces, nuestra pregunta se convierte en “¿Está cerrado [math] \ mathbb {R} [/ math]?” ¡La respuesta es sí! Un conjunto se cierra si contiene todos sus puntos límite. Dado que [math] \ mathbb {R} [/ math] es su conjunto COMPLETO, no solo contiene sus puntos límite, sino que también CADA punto. Entonces, [math] \ mathbb {R} [/ math] está cerrado, y tenemos una contradicción con (1).
