¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ prod_ {n = 2} ^ N \ frac {n ^ 3 – 1} {n ^ 3 + 1} [/ matemáticas]?

Usar la fórmula de expansión para la suma y las diferencias de cubos nos da …

[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {n = 2} ^ {N} {\ dfrac {n ^ 3-1} {n ^ 3 + 1}} = \ dfrac {(2-1) (2 ^ 2 + 2 + 1)} {(2 + 1) (2 ^ 2-2 + 1)} \ times \ dfrac {(3-1) (3 ^ 2 + 3 + 1)} {(3 + 1) (3 ^ 2- 3 + 1)} \ times \ dfrac {(4-1) (4 ^ 2 + 4 + 1)} {(4 + 1) (4 ^ 2-4 + 1)} \ times… [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ color {rojo} {7}} {3 \ veces \ color {rojo} {3}} \ veces \ dfrac {2 \ veces \ color {rojo} {13}} {\ color { rojo} {2 \ times 2 \ times7}} \ times \ dfrac {\ color {red} {3 \ times 21}} {5 \ times \ color {red} {13}} \ times \ dfrac {\ color {red { } {4} \ times31} {6 \ times \ color {red} {21}}…. [/ Math]

Como podemos ver que los números marcados en rojo se cancelan, lo único que queda es [matemáticas] \ dfrac {2} {3} [/ matemáticas]

A excepción de [math] \ dfrac {2} {3} [/ math] que no se ha marcado en rojo, se cancela con los siguientes términos. Intente usar el término [math] 6 ^ {th} [/ math] y [math] 7 ^ {th} [/ math] para verificar cómo se cancela.

ACTUALIZAR:

MM Sachdev, ahora que he terminado con mi idiota estudiante y según la solicitud de Anirban Ghoshal (¿debería decir persistencia?: D), esto es lo que hice.

Veo que algunos números específicos se cancelan de cada fracción entrante, con un poco de trabajo con la pluma y el papel, pensé que el último término tomará la forma de [matemáticas] \ dfrac {N} {N + 1} [/ matemáticas] [algo]

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ prod_ {n = 2} ^ {N} {\ dfrac {n ^ 3–1} {n ^ 3 + 1}} = \ lim_ {N \ to \ infty} \ dfrac {2} {3} \ left (\ dfrac {N ^ 2 + N + 1} {N ^ 2-N + 1} \ right) = \ dfrac {2} {3} [/ math]

A partir de las respuestas de Awnon Bhowmik y Anupreet Choudhary, así es como le agregas un poco más de rigor.

Considere el producto de [matemáticas] (i + 1) [/ matemáticas] -th, las [matemáticas] (i + 2) [/ matemáticas] -th y las [matemáticas] (i + 3) [/ matemáticas] – th term. Tienes

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {i ^ 3 – 1} {i ^ 3 + 1} \ times \ frac {(i + 1) ^ 3 – 1} {(i + 1) ^ 3 + 1} \ times \ frac {(i + 2) ^ 3 – 1} {(i + 2) ^ 3 + 1} = \ frac {(i – 1) (i ^ 2 + i + 1)} {(i + 1) (i ^ 2 – i + 1)} \ veces \ frac {(i) (i ^ 2 + 3i + 3)} {(i + 2) (i ^ 2 + i + 1)} \ veces \ frac {(i + 1) (i ^ 2 + 5i + 7)} {(i + 3) (i ^ 2 + 3i + 3)} [/ matemáticas]

Observará que en general [matemáticas] (s + 1) [/ matemáticas] -th término [matemáticas] (s \ geq 2) [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(s – 1) (s ^ 2 + s + 1)} {(s + 1) (s ^ 2 – s + 1)} [/ matemáticas],

• [math] (s ^ 2 + s + 1) [/ math] tiene un factor de coincidencia en el denominador en el término [math] (s + 2) [/ math].
• [math] (s – 1) [/ math] tiene un factor de coincidencia en el denominador del término [math] (s-1) [/ math].
• [math] (s + 1) [/ math] tiene un factor de coincidencia en el numerador del término [math] (s + 3) [/ math].
• [math] (s ^ 2 – s + 1) [/ math] tiene un factor de coincidencia en el numerador del término [math] s [/ math].

Entonces, los factores en el numerador y el denominador se cancelan.

[matemáticas] a_n = \ frac {2 ^ 3-1} {2 ^ 3 + 1} \ cdot \ frac {3 ^ 3-1} {3 ^ 3 + 1} \ cdots \ frac {n ^ 3-1} {n ^ 3 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(2-1) (3-1) (4-1) \ cdots (2 ^ 2 + 2 + 1) (3 ^ 2 + 3 + 1) (4 ^ 2 + 4 + 1 ) \ cdots (n-1) (n ^ 2 + n + 1)} {(2 + 1) (3 + 1) (4 + 1) \ cdots (2 ^ 2-2 + 1) (3 ^ 2- 3 + 1) (4 ^ 2-4 + 1) \ cdots (n + 1) (n ^ 2-n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1 (2) (3) (4) \ cdots (2 ^ 2 + 2 + 1) (3 ^ 2 + 3 + 1) (4 ^ 2 + 4 + 1) \ cdots (n -1) (n ^ 2 + n + 1)} {(3) (4) (5) \ cdots (2 ^ 2-2 + 1) (3 ^ 2-3 + 1) (4 ^ 2-4 + 1) \ cdots (n + 1) (n ^ 2-n + 1)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2 \ cdot (2 ^ 2 + 2 + 1) (3 ^ 2 + 3 + 1) (4 ^ 2 + 4 + 1) \ cdots (n ^ 2 + n + 1)} { [(2-1) ^ 2 + (2-1) +1] [(3-1) ^ 2 + (3-1) +1] [(4-1) ^ 2 + (4-1) +1 ] \ cdots [(n-1) ^ 2 + (n-1) +1] (n) (n + 1)]} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {n ^ 2 + n + 1} {n (n + 1)} \\\ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math ]

[matemática] = \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n ^ 2 + n + 1} {n (n + 1)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n (n + 1) +1} {n (n + 1)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} 1+ \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} { n ^ 2 + n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} 1+ \ frac {2} {3} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac { 1} {n ^ 2}} {1+ \ frac {1} {n}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} +0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

La respuesta es 2/3. Utilice la factorización bien conocida de a ^ 3 + b ^ 3 y a ^ 3 – b ^ 3
El producto dado cambia a:
[(2-1) (2² + 2 + 1) (3-1) (3² + 3 + 1)…. (N-1) (n² + n + 1)] / [(2 + 1) (2²- 2 + 1) (3 + 1) (3²-3 + 1)… (n + 1) (n²-n + 1)]
También tenga en cuenta que
(n-1) ² + (n-1) +1 = n²-n + 1
Lo que significa que el factor (n-1) ² + n-1 + 1 en el numerador se cancela con el factor (n) ²- (n) +1 en el denominador en la fracción sucesiva que nos lleva a:
[(2-1) (3-1) (4-1)… (n-1) (n² + n + 1)] / [(2 + 1) (2²-2 + 1) (3 + 1) ( 4 + 1)… (n) (n + 1)]
= [1 * 2 * (n² + n + 1)] / [(3) * n * (n + 1)]
En la aplicación del límite, la respuesta es 2/3.

Intente expandirse utilizando las identidades y observe el patrón al cancelar los términos. Puede ayudar
a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) y
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2).

La serie básicamente se elude a una serie geométrica de tal manera que cada término se multiplica por n + 1 (el siguiente término). Por lo tanto, no importa cuál sea el valor de n, la serie se simplificaría a 1 cada término (1x1x1x1x1x1 …). El límite de esta serie es 1.

Una breve codificación muestra que parece converger a [math] \ frac {2} {3} [/ math]. No estoy seguro de cómo mostrar esto. Espero ver algunas buenas respuestas aquí.

Creo que la respuesta debería ser 2/3 .

Soy demasiado vago para escribir todo el proceso paso a paso en LaTEX, así que adjunto la imagen de la solución:

Puedes ver que cada término se cancela

Lo siento, mi conexión a Internet es lenta, llegué tarde cargando la respuesta