Bueno, es debido al Teorema de Representación de Riesz que le dice que todos los funcionales lineales continuos en los espacios de Hilbert pueden ser representados por productos internos con un elemento del espacio de Hilbert.
Deje que [math] \ mathcal {H} [/ math] sea el espacio de funciones de Hilbert en algún conjunto [math] X [/ math]. Entonces, para cualquier [matemática] x \ en X [/ matemática], deje que [matemática] T_x [/ matemática] sea la evaluación funcional en [matemática] x [/ matemática]. Es decir, para cualquier [matemática] f \ en \ matemática {H} [/ matemática], [matemática] T_hf = f (x) [/ matemática]. Como se trata de una función lineal continua (se supone que es continua y es fácil comprobar que es lineal) existe una función [math] g_x \ in \ mathcal {H} [/ math] tal que [math] T_hf = f ( x) = \ langle f, g_x \ rangle [/ math].
¿Cómo puedes averiguar cómo se ve la función [math] g_x [/ math]? Bueno, puede evaluarlo en puntos usando [math] g_y [/ math] para otros valores de [math] y [/ math]. Por ejemplo, podemos encontrar [math] g_x (y) = \ langle g_x, g_y \ rangle [/ math]. Si definimos [math] K (x, y) = g_x (y) = \ langle g_x, g_y \ rangle [/ math], entonces para cualquier [math] f \ in \ mathcal {H} [/ math], nosotros tener
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[matemáticas] f (x) = \ langle f, g_x \ rangle = \ langle f, K (x, \ cdot) \ rangle [/ math]
A partir de esta definición de [math] K [/ math] es bastante fácil verificar que tenga todas las propiedades de un Kernel de reproducción.
