¿Para qué sirve la transformación de Laplace? ¿Es solo para simplificar algunas diferencias? ecuación y nada más?

Las transformadas de Fourier y Laplace están muy relacionadas entre sí, y ambas pueden ayudarlo a resolver ecuaciones diferenciales, pero la diferencia intuitiva es que:

La Transformada de Fourier es más útil para comprender la respuesta de estado estable de un sistema.
La transformada de Laplace es más útil para comprender la respuesta inmediata de un sistema.

En otras palabras, el tipo más simple de respuesta de estado estable que un sistema puede tener a una fuerza durante un largo período de tiempo es una sinusoide. El tipo más simple de respuesta inmediata que un sistema puede tener a un impulso en el tiempo 0 es ser cero para todo el tiempo negativo (antes del impulso), y una disminución exponencial para todo el tiempo positivo (después del impulso).

Para estudiar el comportamiento de respuesta de estado estable de un sistema, tiene sentido descomponer la respuesta real en componentes sinusoidales. Para estudiar la respuesta inmediata, tiene sentido descomponer la respuesta real en componentes que son 0 para el tiempo negativo y decadencia exponencial para el tiempo positivo.

En particular, como resultado, cuando calculamos la transformación de Laplace solo integramos de 0 a infinito, mientras que para la transformación de Fourier lo integramos en todo momento.

Aquí hay una aplicación de la transformación de Laplace: en un sistema lineal, deje que H sea la transformación de Laplace de la respuesta del sistema a un impulso en el momento 0. Luego, si desea conocer la respuesta a una entrada arbitraria f, todo lo que necesita hacer es calcular la transformada de Laplace F de f. Entonces, F multiplicado por H le da la transformación de Laplace de la respuesta del sistema a f.

Pero, aquí está la parte interesante: ese mismo resultado se mantendrá si reemplaza la transformada de Laplace con la transformada de Fourier. Entonces, ¿por qué la gente usa la transformación de Laplace?

La respuesta es que siempre estamos trabajando con aproximaciones. En el caso de la respuesta a un impulso, incluso si aproxima la transformación de Laplace de la respuesta, en el dominio del tiempo obtendrá algo que todavía está bastante cerca de la respuesta al impulso real.

Una transformación aproximada de Fourier de la respuesta, por otro lado, no será tan buena. En particular, si aproxima la transformación de Fourier de la respuesta, cuando regrese al dominio del tiempo, encontrará que puede tener una respuesta distinta de cero en un tiempo negativo, ¡incluso antes de que ocurriera el impulso!

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