Cada usuario en un sistema informático tiene una contraseña que tiene entre seis y ocho caracteres, donde cada carácter es una letra mayúscula o un dígito. Cada contraseña debe contener al menos un dígito. ¿Cuántas posibles contraseñas hay?

A veces, ayuda hacer las cosas paso a paso para ver cómo funcionan las fórmulas. Veamos un problema simple:

> Cada usuario en un sistema informático tiene una contraseña.
> Cada contraseña tiene cuatro o cinco caracteres de longitud.
> Cada carácter debe ser una letra mayúscula o un dígito.
> Cada contraseña debe contener al menos un dígito (en cualquier posición).
> ¿Cuántas contraseñas posibles hay?

Primero descubramos cuántas contraseñas diferentes de cuatro caracteres hay.

  1. ¿Cuántas contraseñas diferentes de cuatro caracteres hay?
    1. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 1? 36
    2. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 2? 36
    3. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 3? 36
    4. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 4? 36
    5. Multiplique estos números: 36 x 36 x 36 x 36 = 1679616
    6. Esto es lo mismo que [matemáticas] 36 ^ 4 [/ matemáticas], que también es igual a 1679616
    7. Hay 1,679,616 formas diferentes de usar 26 letras y 10 dígitos para formar contraseñas de cuatro caracteres.
  2. Ahora, debemos deducir aquellos casos en los que una contraseña no tiene dígitos.
    ¿Cuántas contraseñas de cuatro caracteres “sin dígitos” hay?
    1. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 1? 26
    2. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 2? 26
    3. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 3? 26
    4. ¿Cuántas opciones de personaje tienes para la posición 4? 26
    5. Multiplica estos números: 26 x 26 x 26 x 26 = 456976
    6. Esto es lo mismo que [matemáticas] 26 ^ 4 [/ matemáticas], que también es igual a 456976
    7. Hay 456,976 formas diferentes de usar 26 letras y ningún dígito para formar contraseñas de cuatro caracteres.
  3. Resta el segundo total del primer total y tienes la cantidad de contraseñas de cuatro caracteres que contienen al menos un dígito.
    1. 1679616 – 456976 = 1222640
    2. [matemáticas] 36 ^ 4 – 26 ^ 4 = 1222640 [/ matemáticas]
  4. Hay 1,222,640 contraseñas diferentes de 4 caracteres que contienen al menos un dígito.

TU TURNO:

Haga lo mismo para las contraseñas de cinco caracteres, luego agregue las dos respuestas para obtener el número de contraseñas (cuatro o cinco) que contengan cada una al menos un dígito.

Como ya señalaron otros, la solución proporcionada es correcta.
Piense en los dígitos como no diferentes de los alfabetos en mayúsculas. Luego tiene un conjunto de 36 caracteres (26: AZ + 10: 0-9) para elegir. Cada uno puede estar presente en la contraseña en cualquiera de las 6 posiciones.
Esto le da 36 opciones para 6 posiciones. 36 ^ 6 combinaciones.
Pero luego está la carga adicional de eliminar esas contraseñas que no tienen dígitos, como se requiere en la declaración del problema.
Así que olvídate de los dígitos que existieron y construye la contraseña solo con letras mayúsculas.
26 opciones. 6 puestos. 26 ^ 6 combinaciones.
Al eliminar estas contraseñas no válidas, le quedan 36 ^ 6 – 26 ^ 6 correctas.

Donde te equivocaste:
Su respuesta habría sido correcta si la declaración del problema hubiera sido:
“La contraseña de longitud 6 puede tener dígitos o letras mayúsculas en 5 posiciones, pero solo dígitos en la primera posición”.
(Tenga en cuenta que la ‘primera posición’ se puede reemplazar por la segunda / tercera / … / sexta posición, siempre que la posición en la que solo debe aparecer un dígito permanezca fija).
Entonces habría 36 opciones para 5 posiciones y 10 opciones para la sexta posición restante, dando 36 ^ 5 * 10.
Entonces interpretó la condición ‘must-have-one-digit’ como ‘must-have-one-digit-at-one-fixed-place’.
Esto es incorrecto debido a dos razones:
1. El 36 ^ 5 incluye aquellos casos que tienen al menos un dígito en una de las 5 posiciones. Una vez que está satisfecho, no hay necesidad de que la sexta posición restante tenga un dígito para satisfacer la restricción. Sin embargo, lo está obligando a ser un dígito, dándole solo 10 opciones.
2. Incluso en los casos de 36 ^ 5 que solo tienen alfabetos en mayúsculas y, por lo tanto, necesitan que la sexta posición restante tenga al menos un dígito, está obligando a que ese dígito se bloquee en una posición determinada en lugar de dejar que flote libremente.

Para obtener la misma respuesta por su idea:
Mire la respuesta real y le dará una pista de qué parte se perdió.
36 ^ 6 – 26 ^ 6
¿Recuerdas la factorización de a ^ n – b ^ n?
(a – b) (a ^ (n-1) + a ^ (n-2) * b +… + a * b ^ (n-2) + b ^ (n-1))
Eso te da (36 – 26) * (36 ^ 5 + 36 ^ 4 * 26 +… + 36 * 26 ^ 4 + 26 ^ 5)
Mira el primer paréntesis. Son 36-26 = 10
Y el primer término en el segundo paréntesis es 36 ^ 5. Eso produce 10 * 36 ^ 5 en la multiplicación.
Así que te perdiste los términos restantes. ¿Qué representan?
10 * 36 ^ 5: el número de contraseñas con una posición que debe tener un dígito y los dígitos restantes o alfabetos en mayúscula.
10 * 36 ^ 4 * 26: el número de contraseñas con una posición sin dígitos permitidos y una posición que debe tener un dígito.
10 * 36 ^ 3 * 26 ^ 2: el número de contraseñas con dos posiciones sin dígitos permitidos y una posición que debe tener un dígito.
Y así.
Sume todos esos y cubre todos los casos, produciendo la misma respuesta.
¡Trabajo duro sin embargo!

Lo que falta son las permutaciones de los dígitos que ha seleccionado. Con 10 * (36 ^ 5) para P6, ha seleccionado los dígitos / letras para la contraseña, pero no ha seleccionado el lugar para ellos (unidades, decenas, etc.). ¡Podrías multiplicar de inmediato tu respuesta por 6! para obtener todas las permutaciones, pero eso no sería correcto porque eso requeriría que todos los caracteres de la contraseña sean diferentes. Dependiendo de cuántos caracteres sean iguales en la contraseña, tendrá que agregarlos por separado y es bastante tedioso. La solución dada es de hecho la correcta. 🙂

use permutaciones y combinaciones, use diferentes casos para (6 contraseña charactered u 8 contraseña charactered)

caso 1: todos los caracteres son números.

caso 2: todos los caracteres son números excepto una letra.

caso 3: todos los caracteres son números excepto dos letras.

caso 4: todos los caracteres son números excepto tres letras.

caso 5: todos los caracteres son números excepto cuatro letras.

caso 6: todos los caracteres son números excepto cinco letras.

caso 7: todos los caracteres son números excepto seis letras (no para seis caracteres de contraseña)

Caso 8: todos los caracteres son números excepto siete letras (no para seis contraseñas con caracteres)

caso 9: todos los caracteres son números excepto 8 letras (no para seis caracteres de contraseña)

Súmelos y obtendrá la respuesta.

¿De dónde sacaste esas soluciones? Quiero saber cuál es su razonamiento, detrás de esos valores para P6, P7 y P8.

En cuanto a la solución dada, es absolutamente correcta. La razón detrás de esto es que para cada lugar hay una opción de 36 caracteres. Entonces, el número total de posibles contraseñas de 6 caracteres es 36 * 36 * 36… = 36 ^ 6 (se multiplica un 36 por cada carácter, ya que se puede elegir cualquiera, y su distribución es completamente independiente).

Sin embargo, debido a la restricción mencionada anteriormente, tenemos que excluir todas las contraseñas que no tienen números, es decir, solo contienen los alfabetos. Siguiendo una lógica similar, con una opción de solo 26 caracteres ahora, terminamos con 26 ^ 6 para el número de contraseña de 6 caracteres sin números en ellos.

Lo obvio ahora es restar. Así es como han logrado P6 como 36 ^ 6 – 26 ^ 6.

Lo mismo se puede aplicar para contraseñas de 7 y 8 caracteres también.

Así que dime. ¿Qué es lo que no entiendes y qué te hace pensar que P6 sería 10 * (36 ^ 5)? Ponga algunos detalles sobre cómo terminó con ese valor en los comentarios a continuación.

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