Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] x ^ 2y ^ {‘} = x ^ 2y ^ 2 + xy + 1 [/ matemáticas]

Aritro dio un buen camino a seguir. Por la presente, proporcionamos una solución completa.

La ecuación se puede reescribir como:

[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2y ‘= (xy + 1) ^ 2 – xy} \ qquad (1) [/ matemáticas]

Deje [math] xy = u \ qquad (2) [/ math]. Uno puede verificar fácilmente que la curva [math] \ displaystyle {x = 0} [/ math] no podría ser una solución. Entonces nos ocupamos de encontrar soluciones como [math] x \ ne 0 [/ math] solamente. La ecuación (2) da:

[matemáticas] \ displaystyle {u ‘= y + xy’ \ Rightarrow xu ‘= xy + x ^ 2y’ \ Rightarrow x ^ 2y ‘= xu’ – xy = xu ‘- u} \ qquad (3) [/ math]

Sustituya (2) y (3) en (1), obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {xu ‘- u = (1 + u) ^ 2 – u} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow xu ‘= (1 + u) ^ 2} [/ matemáticas]

O simplemente como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {(1 + u) ^ 2} = \ frac {\ mathrm {d} x} {x}} [/ math]

Al integrar ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {x = Ce ^ {- \ frac {1} {1 + u}}} [/ matemáticas]

donde [math] \ displaystyle {C} [/ math] es una cierta constante

Seno [matemáticas] \ displaystyle {xy = u} [/ matemáticas]. La solución general viene dada por:

[matemáticas] \ displaystyle {xe ^ {\ frac {1} {1 + xy}} = C} \ qquad \ square [/ math]

Comenzaría con una conjetura inicial algo como (0,0). Luego calcule el jacobiano de la ecuación y use el método de gradiente o gauss-newton para llegar a un cero de la ecuación.

Posiblemente comience con otra suposición para llegar a otras soluciones.

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