Aritro dio un buen camino a seguir. Por la presente, proporcionamos una solución completa.
La ecuación se puede reescribir como:
[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2y ‘= (xy + 1) ^ 2 – xy} \ qquad (1) [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {11} [/ matemáticas] en la expansión de [matemáticas] (1 + x ^ 2) ^ 4 (1 + x ^ 3) ^ 7 (1 + x ^ 4) ^ {12} [/ matemáticas]?
- ¿Es la raíz de la ecuación cuadrática [matemática] x ^ 2 - ax - b ^ 2 = 0 [/ matemática] real o compleja; si es real, racional o irracional?
- ¿6/2 (1 + 2) es igual a 1 o 9? Explique.
- Cómo encontrar las raíces de [matemáticas] x + \ sqrt {x ^ 2 + \ sqrt {x ^ 3 + 1}} = 1 [/ matemáticas]
- Cómo prepararse para las clases de matemáticas de pregrado
Deje [math] xy = u \ qquad (2) [/ math]. Uno puede verificar fácilmente que la curva [math] \ displaystyle {x = 0} [/ math] no podría ser una solución. Entonces nos ocupamos de encontrar soluciones como [math] x \ ne 0 [/ math] solamente. La ecuación (2) da:
[matemáticas] \ displaystyle {u ‘= y + xy’ \ Rightarrow xu ‘= xy + x ^ 2y’ \ Rightarrow x ^ 2y ‘= xu’ – xy = xu ‘- u} \ qquad (3) [/ math]
Sustituya (2) y (3) en (1), obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {xu ‘- u = (1 + u) ^ 2 – u} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow xu ‘= (1 + u) ^ 2} [/ matemáticas]
O simplemente como:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {(1 + u) ^ 2} = \ frac {\ mathrm {d} x} {x}} [/ math]
Al integrar ambos lados, obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {x = Ce ^ {- \ frac {1} {1 + u}}} [/ matemáticas]
donde [math] \ displaystyle {C} [/ math] es una cierta constante
Seno [matemáticas] \ displaystyle {xy = u} [/ matemáticas]. La solución general viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle {xe ^ {\ frac {1} {1 + xy}} = C} \ qquad \ square [/ math]