¿Por qué se usa coseno en productos de punto y seno en productos cruzados?

No fue asi. Nadie dijo que creáramos un par de productos usando senos y cosenos.

William Rowan Hamilton (1805-1865) inventó los cuaterniones. Primero buscó una estructura algebraica en 3 espacios para corresponder a la estructura de números complejos en 2 espacios. Encontró algo. En lugar de simplemente agregar [math] i [/ math] a los números reales para obtener [math] \ mathbb C, [/ math] agregó [math] i, j, [/ math] y [math] k. [/ matemáticas]

El Panteón en la Biblioteca – Los Bustos Escultóricos de Long Room Trinity College, Dublín

Los cuaterniones forman un campo de inclinación, también llamado anillo de división, [math] \ mathbb H. [/ Math] Cada quaternion es una combinación lineal de [math] 1, i, j, k [/ math]

[matemáticas] a = a_0 + a_1i + a_2j + a_3k [/ matemáticas]

donde los coeficientes son números reales. Un cuaternión que es solo un número real se llama escalar , mientras que un cuaternión que no tiene una parte real se llama vector. Los vectores corresponden a puntos en 3 espacios.

Los símbolos [matemática] i, j, [/ matemática] y [matemática] k. [/ Matemática] satisfacen

[matemáticas] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] ij = k, [/ matemáticas] [matemáticas] jk = i, [/ matemáticas] [matemáticas] ki = j [/ matemáticas]

[matemáticas] ji = -k, [/ matemáticas] [matemáticas] kj = -i, [/ matemáticas] [matemáticas] ik = -j [/ matemáticas]

Esto no conduce a una multiplicación conmutativa, pero tenga en cuenta que si [matemática] a [/ matemática] es un escalar, entonces [matemática] a [/ matemática] conmutará con cualquier cuaternión [matemática] b [/ matemática].

La suma y la resta son coordinadas, al igual que en los números complejos [math] \ mathbb C [/ math]. Aquí hay multiplicación

[matemáticas] (a_0 + a_1i + a_2j + a_3k) (b_0 + b_1i + b_2j + b_3k) = [/ matemáticas]

[matemáticas] (a_0b_0 – a_1b_1 – a_2b_2 – a_3b_3) \; + [/ matemáticas]

[matemáticas] (a_0b_1 + a_1b_0 + a_2b_3 – a_3b_2) i \; + [/ matemáticas]

[matemáticas] (a_0b_2 – a_1b_3 + a_2b_0 + a_3b_1) j \; + [/ matemáticas]

[matemáticas] (a_0b_3 + a_1b_2 – a_2b_1 – a_3b_0) k [/ matemáticas]

Todas las propiedades habituales de suma, resta y multiplicación se mantienen en H excepto una. Multiplicación en anticommutativo; si [math] a [/ math] yb son dos vectores, es decir, cuaterniones sin parte real, entonces [math] ab = -ba. [/ math]

Los cuateriones también tienen conjugación. La notación estándar para denotar el conjugado de un cuaternión es colocar una barra sobre él. Se define por

[matemáticas] \ overline {a_0 + a_1i + a_2j + a_3k} = a_0 -a_1i-a_2j-a_3k [/ matemáticas]

La norma o el valor absoluto de un cuaternión [matemática] a [/ matemática] se define por

[matemáticas] | a | ^ 2 = \ overline {a} a. [/ matemáticas]

Es un número real no negativo, por lo que tiene una raíz cuadrada [matemática] | a |. [/ Matemática]

La división se puede definir en términos de conjugación y valor absoluto

[matemáticas] \ dfrac {1} {a} = \ dfrac {\ overline a} {| a | ^ 2} [/ matemáticas]

Con estas operaciones [math] \ mathbb H [/ math] tiene todas las propiedades habituales de un campo, excepto que la multiplicación no es conmutativa.

Ahora, dados dos vectores [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b, [/ matemática] su producto [matemática] ab [/ matemática] tiene dos partes, una parte escalar y una parte vectorial. Si denotamos la parte del vector como [math] a \ times b [/ math] y la parte escalar de negación como [math] a \ cdot b [/ math], entonces

[matemáticas] ab = a \ veces b – a \ cdot b [/ matemáticas]

De ahí proviene nuestro producto cruzado y de puntos habitual.

¿Dónde entran los senos y cosenos? Ahora. Pero no iré allí ya que sabes todo sobre ellos.

En cambio, le daré un problema que puede resolver usando quaternions. Proviene de Kelland and Tait’s 1873 Introduction to Quaternions .

Si se dibujan tres vectores mutuamente perpendiculares desde un punto a un plano, la suma de los recíprocos de los cuadrados de sus longitudes es independiente de sus direcciones.

[de mis apuntes de clase – DEJ]

El producto Vector Dot es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas) y devuelve un solo número (manteniendo la analogía con la multiplicación de números reales).

Ahora, Let a & b son dos vectores en coordenadas cartesianas 3D

De acuerdo con la Ley de cosenos al triángulo AOB obtenemos,

donde | AB | = | a – b | , | OA | = | a | , | OB | = | b | Entonces,

Entonces, la definición geométrica del Producto Dot es (Del producto Dot – Roblox Wiki )

Para comenzar, tengamos una definición para el producto escalar dados los vectores A y B.

“La proyección escalar de A sobre B multiplicada por la magnitud de B”

“La proyección escalar de B sobre A multiplicada por la magnitud de A”

Por supuesto, esta definición puede hacer que te preguntes qué es una proyección escalar y, lo que es más importante, cómo calcularla. Una proyección escalar es la cantidad que un vector viaja en la dirección de otro vector. Entonces, si decimos que queremos la proyección de A sobre B, queremos saber cuánto del vector A va en la misma dirección que el vector B y viceversa para la proyección de B sobre A.

Por lo tanto, a veces también se le llama producto escalar, producto interno o, raramente, producto de proyección.

De nuevo ,

El producto Vector Cross (producto de área dirigida ocasionalmente para enfatizar la importancia geométrica) es una operación binaria en dos vectores en un espacio tridimensional que da como resultado un vector que es perpendicular a ambos vectores y, por lo tanto, normal al plano que los contiene. En la vida real, hay muchos fenómenos como donde la calidad de 2 vectores actúa en el plano pero el vector resultante es normal en ambos vectores. El más simple es el mecanismo de tornillo que abre o cierra la tapa de la botella

Ahora, Let a & b son dos vectores en coordenadas cartesianas 3D. Para encontrar un vector c que sea perpendicular a ambos vectores. Según el producto Dot, a. c = 0 y b. c = 0 .

Así,

Resolviendo las ecuaciones,

De la definición, c = a × b

Tomando el valor del vector,

Del producto Dot de a & b

Así,

Nunca estuve realmente satisfecho con las explicaciones de esto hasta que me encontré con una derivación que es álgebra lineal.

Pido disculpas por proporcionar una respuesta en forma de imagen. Pero se está haciendo tarde en este lado del mundo y tengo que escribir un examen de Los Ángeles por la mañana.

David Joyce da el origen del punto a productos cruzados en los cuaterniones de William Rowan Hamilton que se publicaron en 1843. Pero también Herman Grassmann publicó su Ausdehnunglehrer de forma independiente en 1844, que tenía ideas similares pero más generales.

De todos modos, sin estos dos caballeros, estoy seguro de que estos productos se habrían definido tarde o temprano. El producto escalar tiene aplicaciones como el trabajo realizado por una fuerza que habría llevado a este producto. Del mismo modo, el producto vectorial estaría motivado por el momento de una fuerza sobre un punto, así como por otras aplicaciones. La razón de los senos y cosenos se vuelve obvia cuando miras las aplicaciones.

Supongo que quiere decir: en [matemáticas] a \ cdot b = | a | | b | \ cos \ theta [/ math] ¿Por qué hay un coseno? Tomemos [matemáticas] | b | \ cos \ theta [/ math] parte. ¿Que es esto? Es una proyección del vector [math] a [/ math] en la dirección del vector [math] b [/ math]. Entonces, lo que está midiendo es algo así como cuánto apuntan a y b en la misma dirección, escalado por el tamaño de a y b .

La relación entre el producto escalar y el producto cruzado viene dada por la identidad de Fibonacci. Lo recuerdo como la magnitud del producto de dos números complejos que es el producto de las magnitudes. También es interesante olvidar el signo menos, pero hagámoslo de esta manera.

[matemáticas] | (a-bi) (c + di) | ^ 2 = | a-bi | ^ 2 | c + di | ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ac + bd) ^ 2 + (ad-bc) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]

Ahí está el producto escalar y el producto cruzado. Podemos verificar la identidad multiplicándola, pero no me molestaré.

Dividiendo a través de

[matemáticas] \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} + \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} = 1 [/ matemáticas]

El primer término es el producto de punto cuadrado normalizado, el segundo término es el producto cruzado cuadrado normalizado. Si esto parece

[matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ matemáticas]

es porque lo es. Deje [math] [a: b] [/ math] ser la línea a través del origen y [math] (a, b) [/ math], similar para [math] [c: d] [/ math]. Entonces, si [matemática] \ theta [/ matemática] es cualquiera de los ángulos entre las líneas [matemática] [a: b] [/ matemática] y [matemática] [c: d] [/ matemática],

[matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta = \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ 2 \ theta = \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas]

Te lo dejo para que lo pruebes en general. Vamos a mostrarlo cuando [math] (c, d) = (1,0) [/ math], entonces [math] [c: d] [/ math] es el eje x. Mostraremos que [math] \ theta [/ math] es el ángulo habitual en el origen, entre el eje x y la línea a través de [math] (a, b) [/ math]. Sustituyendo,

[matemáticas] \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} = \ dfrac {a ^ 2} {a ^ 2 + b ^ 2 } = \ dfrac {\ textrm {adyacente} ^ 2} {\ textrm {hipotenusa} ^ 2} = \ cos ^ 2 \ theta \ quad \ checkmark [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} = \ dfrac {b ^ 2} {a ^ 2 + b ^ 2 } = \ dfrac {\ textrm {opuesto} ^ 2} {\ textrm {hipotenusa} ^ 2} = \ sin ^ 2 \ theta \ quad \ checkmark [/ math]

Déjame explicarte con el ejemplo. Considere dos vectores A = (3,2) = 3i + 2j y B = (3,0) = 3i + 0j.

Ahora algebraicamente AB = (3.3) + (2.0) = 9.

Si traza A y B en el espacio euclidiano, obtenemos,

| A | = sqrt (13), | B | = 3 y cos (θ) = 3 / sqrt (13).

Por lo tanto, en el espacio euclidiano, el producto punto se define como,

AB = | A |. | B | .cos (θ)

donde, según lo dicho por otro autor, | B | .cos (θ) es la proyección del vector A en la dirección del vector B.

Bueno, es confuso que si quieres decir ‘ por qué hay coseno involucrado en los productos de punto ‘ o ‘ por qué no usar seno en productos de punto ‘. Por lo tanto, solo te muestro una explicación para ambos.

Entonces, usted ve la prueba de la fórmula que involucra el coseno, y obviamente es más simple escribir usando coseno en lugar de seno.

Espero que esto pueda ayudar. (En realidad, tenía la misma pregunta cuando busqué esta página 😉

¿Por qué podemos usar cos theta en productos dot y sine theta en productos cruzados?

Es la definicion .

El producto cruzado se define como un vector perpendicular a ambos operandos, con una dirección dada por la regla de la mano derecha y una magnitud igual al área del paralelogramo que abarcan los operandos [1]. Para calcular las are del paralelogramo, dadas las longitudes de los lados es [math] a * b * sin (\ theta) [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​el lado longitudes (que también son la magnitud de los operandos) y [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los operandos.

El producto de puntos es un producto de la magnitud de un vector (por ejemplo, [math] \ vec {a} [/ math]) con otro vector (por ejemplo, [math] \ vec {b} [/ math]) cuando uno de los vectores se proyecta en la dirección del otro vector [2]. No importa si a se proyecta a b o vv, ya que solo introducirá un nuevo factor: [math] cos (\ theta) [/ math]. Por lo tanto, el producto escalar de a y be es [math] (a * cos (\ theta)) * b [/ math] o [math] a * (b * cos (\ theta)) [/ math].

Notas al pie

[1] Producto cruzado – Wikipedia

[2] Producto de punto – Wikipedia

Debido a que sin se usa en x producto que da un área de un paralelogramo que está formado por dos vectores que se convierte en la longitud de un nuevo vwctor que es su producto. En el producto punto cos se usa porque los dos vectores tienen un valor de producto de cero cuando es perpendicular, es decir, el cos de ángulo entre ellos es igual a cero.

Si definimos el producto escalar de dos vectores como el producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos, entonces el producto escalar termina teniendo una expresión muy simple que involucra las coordenadas de los vectores. Si tuviéramos que elegir una función trigonométrica diferente, la fórmula sería mucho menos simple.